10.1 图的基本概念

图论是网络分析的数学语言。在现代量化金融中，从银行间支付网络到区块链交易图谱，图论建模正变得越来越重要。

图的定义

一个图 $G = (V, E)$ 由顶点集 $V$ 和边集 $E$ 组成。

图的类型

类型	边的方向	边是否有权重	示例
无向无权图	无方向	无	股票相关性网络（阈值化）
有向无权图	有方向	无	Twitter 关注关系
无向加权图	无方向	有	银行间借贷金额网络
有向加权图	有方向	有	外汇兑换网络（含汇率，有向）

邻接矩阵（Adjacency Matrix）

对于有 $n$ 个顶点的图，邻接矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ：

无权图： $A_{ij} = 1$ 若边 $(i,j)$ 存在，否则 $0$
加权图： $A_{ij} = w_{ij}$ （边权重），若无边则 $\infty$ 或 $0$

手算实例：5 节点图的邻接矩阵

考虑如下加权无向图：

       2
 (1)────(2)
  | \  / |
  |  \/  |
  |  /\  |
  | /  \ |
 (3)────(4)──(5)
     1

边权重： $(1,2)=2$ , $(1,3)=4$ , $(1,4)=3$ , $(2,4)=1$ , $(3,4)=1$ , $(4,5)=5$

邻接矩阵 $A$ （ $5 \times 5$ ）：

A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & 3 & \infty \\ 2 & 0 & \infty & 1 & \infty \\ 4 & \infty & 0 & 1 & \infty \\ 3 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ \infty & \infty & \infty & 5 & 0 \end{pmatrix}

从邻接矩阵可以读出：

节点 1 连接了 2、3、4（度 = 3）
节点 4 连接了 1、2、3、5（度 = 4，图中最大）
节点 5 只连接了 4（度 = 1，图中最小）

Python 示例

python

import networkx as nx
import numpy as np

# 构建加权无向图
G = nx.Graph()
edges = [
    (1, 2, 2),
    (1, 3, 4),
    (1, 4, 3),
    (2, 4, 1),
    (3, 4, 1),
    (4, 5, 5)
]
G.add_weighted_edges_from(edges)

# 邻接矩阵
adj_matrix = nx.to_numpy_array(G)
print("邻接矩阵:")
print(adj_matrix)

# 节点度数
for node in G.nodes():
    print(f"节点 {node}: 度 = {G.degree(node)}")

Quant Link：金融网络与系统性风险

在系统性风险建模中，银行间市场的网络可以表示为加权有向图——顶点是银行，边是借贷关系，权重是敞口金额。

邻接矩阵的谱半径（最大特征值）被用作系统性风险的早期预警指标（Markose, 2012）。若谱半径突然增大，意味着银行间网络的互联程度快速上升——风险传播路径更多，系统性危机概率更高。

网络特征	金融含义
高密度（边多）	银行间高度互联，风险扩散快
幂律度分布	少数"核心银行"控制大部分交易
高聚类系数（Clustering Coefficient——衡量节点邻居之间相互连接程度的指标："朋友的朋友也是朋友"的比例，范围 0~1）	存在紧密的小圈子，可能隐藏风险集中
大谱半径	放大效应显著，小冲击可能级联放大
\n> 下一步：继续学习 10.2 最短路径

10.1 图的基本概念 ​

图的定义 ​

图的类型 ​

相关概念 ​

邻接矩阵（Adjacency Matrix） ​

手算实例：5 节点图的邻接矩阵 ​

Python 示例 ​

Quant Link：金融网络与系统性风险 ​