1.1 极限与连续

极限是微积分的基石。连续则描述函数"没有断裂"的性质。

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一、数列的极限

1.1 直观理解

考虑数列 $a_n = \dfrac{1}{n}$：

$$a_1 = 1,\; a_2 = 0.5,\; a_3 = 0.333,\; a_4 = 0.25,\; \dots,\; a_{100} = 0.01,\; a_{1000} = 0.001$$

当 $n$ 越来越大时，$a_n$ 越来越接近 $0$。我们说：数列 $a_n$ 的极限是 $0$，记作：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

核心思想：趋近但不等于。数列项可以无限接近某个值，但不一定等于它。

1.2 精确定义（$\varepsilon$-$N$ 语言）

对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - L| < \varepsilon$。

通俗地讲：不论你给一个多小的误差范围 $\varepsilon$，我总能找到一个 $N$，之后的所有项都在这个误差范围内。

例：证明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$：

• 给定 $\varepsilon > 0$，我们需要 $\left|\dfrac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon$，即 $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$
• 取 $N = \left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil$，则当 $n > N$ 时，$\dfrac{1}{n} < \varepsilon$ ✅

1.3 极限的性质

若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = A$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = B$，则：

性质	公式
线性	$\displaystyle\lim (c a_n + d b_n) = cA + dB$
乘积	$\displaystyle\lim (a_n b_n) = A \cdot B$
商	$\displaystyle\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$（$B \neq 0$）
夹逼	$a_n \le c_n \le b_n$ 且 $A = B$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim c_n = A$

手算验证线性性质：

已知 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$。那么：

$$\lim_{n \to \infty} \left(3 \cdot \frac{1}{n} + 5 \cdot \frac{2}{n}\right) = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0$$

验证：$3 \cdot \frac{1}{n} + 5 \cdot \frac{2}{n} = \frac{13}{n} \to 0$ ✅

手算验证乘积性质：

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}\right) = 0 \cdot 0 = 0$$

验证：$\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} = \frac{2}{n^2} \to 0$ ✅

夹逼定理示例：证明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$。

因为 $-1 \le \sin n \le 1$，所以 $-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n}$。两边极限都是 $0$，由夹逼定理，中间极限也是 $0$。✅

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二、函数的极限

2.1 定义

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

含义：当 $x$ 无限接近 $a$（但不等于 $a$）时，$f(x)$ 无限接近 $L$。

$\varepsilon$-$\delta$ 语言：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，有 $|f(x) - L| < \varepsilon$。

2.2 左极限与右极限

概念	符号	含义
左极限	$\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$	从小于 $a$ 的一侧趋近
右极限	$\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$	从大于 $a$ 的一侧趋近

极限存在的条件：$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ 存在 $\iff$ 左极限 = 右极限

2.3 极限的判定方法

方法	操作	适用场景
直接代入	先代入 $x = a$	连续函数
因式分解	约去 $0/0$ 型公因子	多项式分式
有理化	分子分母乘以共轭	含根号分式
重要极限	套用已知极限	三角函数、自然常数 $e$ 的定义（$e \\approx 2.71828$，是自然对数的底数，详见 1.2）

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三、极限的常用计算方法

3.1 直接代入法

$$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) = 4 + 6 - 1 = 9$$

3.2 因式分解

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$$

3.3 两个重要极限

第一个：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

当 $x$ 很小时 $\sin x \approx x$，比值接近 1。

第二个：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$（$e \approx 2.71828$）

$n$	$(1 + 1/n)^n$
1	2
10	2.5937
100	2.7048
1000	2.7169
10000	2.7181

3.4 洛必达法则

处理 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型（用到导数 $f'(x)$，详见 1.2 导数）：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

例：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2}$$

WARNING

使用洛必达前必须确认是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，且导数极限存在。

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四、函数的连续性

4.1 定义

$f(x)$ 在 $x = a$ 处连续 $\iff$ 同时满足三个条件：

1. $f(a)$ 有定义
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ 存在
3. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

4.2 间断点类型

类型	例子
可去间断	$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$：有个洞，补上就连续
跳跃间断	$\lfloor x \rfloor$ 在整数点：左右极限不相等
无穷间断	$\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$：趋近无穷
震荡间断	$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$：极限不存在

4.3 连续函数的性质

• 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续
• 连续函数的复合函数连续
• 介值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 能取到 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的所有值
• 最值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在该区间上能取到最大值和最小值

4.4 量化应用：二分法找零

介值定理的经典应用——找方程的根。假设要找到隐含波动率 $\sigma$ 使得期权价格 $C(\sigma) = 16.5$：

def find_implied_vol(target_price, low=0.01, high=2.0, tol=1e-6):
    """二分法找隐含波动率"""
    while high - low > tol:
        mid = (low + high) / 2
        price = black_scholes_price(mid)
        if price < target_price:
            low = mid
        else:
            high = mid
    return (low + high) / 2

理论基础：若 $C(\text{low}) < 16.5 < C(\text{high})$，由介值定理，中间必存在 $\sigma$ 使 $C(\sigma) = 16.5$。

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五、Python 验证

import numpy as np

# 数列极限：1/n → 0
n_vals = np.array([1, 10, 100, 1000, 10000, 100000])
print("n → ∞ 时 1/n 的值：")
for n, val in zip(n_vals, 1/n_vals):
    print(f"  n = {n:6d}: 1/n = {val:.8f}")

# 重要极限：sin x / x → 1
x_vals = np.array([0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001])
print("\nx → 0 时 sin(x)/x 的值：")
for x in x_vals:
    print(f"  x = {x:.4f}: sin(x)/x = {np.sin(x)/x:.8f}")

# 重要极限：(1+1/n)^n → e
print("\nn → ∞ 时 (1+1/n)^n 的值：")
for n in [1, 10, 100, 1000, 10000]:
    print(f"  n = {n:5d}: (1+1/n)^n = {(1+1/n)**n:.8f}")

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小结

概念	要点
极限	趋近但不等于，$\varepsilon$-$N$ / $\varepsilon$-$\delta$ 定义
左右极限	极限存在的充要条件
重要极限	$\dfrac{\sin x}{x}$ 和 $e$ 的定义
洛必达法则	处理 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$
连续性	一笔画、介值定理、最值定理

下一步：继续学习 1.2 导数与微分——极限的延伸应用，梯度下降的直接数学基础。