4.5 时间序列分析

时间序列分析研究按时间顺序排列的数据点的统计性质。与横截面数据不同，时间序列数据的关键特征是自相关——过去的值影响未来的值。

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一、基本概念

1.1 时间序列 vs 横截面数据

特征	横截面	时间序列
维度	同一时间多个个体	同一个体多个时间点
关键假设	独立同分布(i.i.d.)	序列依赖
主要关注	分布参数	动态结构（趋势、自相关）

1.2 平稳性（Stationarity）

严平稳：联合分布对时间平移不变

$$F(x_{t_1}, \dots, x_{t_k}) = F(x_{t_1+h}, \dots, x_{t_k+h})$$

弱平稳（宽平稳）：

• $\mathbb{E}[X_t] = \mu$（常数均值）
• $\text{Var}(X_t) = \sigma^2$（常数方差）
• $\text{Cov}(X_t, X_{t+h}) = \gamma(h)$（协方差仅依赖滞后 $h$）

金融收益率通常近似弱平稳，但价格序列一般不平稳。

1.3 自相关函数（ACF）

$$\rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)} = \frac{\text{Cov}(X_t, X_{t+h})}{\sqrt{\text{Var}(X_t)\text{Var}(X_{t+h})}}$$

样本 ACF：$\hat{\rho}(h) = \frac{\sum_{t=1}^{n-h} (X_t - \bar{X})(X_{t+h} - \bar{X})}{\sum_{t=1}^{n} (X_t - \bar{X})^2}$

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二、白噪声（White Noise）

白噪声 是最基础的时间序列"原料"。一个序列 $\{\varepsilon_t\}$ 被称为白噪声，记为 $\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$，如果满足三个条件：

1. 均值为零：$\mathbb{E}[\varepsilon_t] = 0$
2. 方差恒定：$\text{Var}(\varepsilon_t) = \sigma^2$（常数，不随时间变化）
3. 无自相关：$\text{Cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_{t+h}) = 0$ 对任意 $h \neq 0$（过去值不能预测未来值）

直观理解：白噪声就像一台收音机的"沙沙"背景噪音——每个时间点的值完全随机，没有规律可循，无法用过去的值预测未来的值。

为什么叫"白"噪声：类比白光——白光包含所有频率的可见光，能量在所有频率上均匀分布。白噪声也类似，它的能量在所有频率上均匀分布（功率谱密度为常数）。

在时间序列中的作用：白噪声是所有时间序列模型的"构建块"。AR、MA、ARMA 模型都把观测序列 $X_t$ 表示为过去值的加权和加上一个白噪声冲击 $\varepsilon_t$。

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三、AR(1) 模型

3.1 模型定义

$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$$

其中 $|\phi| < 1$ 保证平稳性。

性质：

• $\mathbb{E}[X_t] = 0$
• $\text{Var}(X_t) = \sigma^2 / (1 - \phi^2)$
• $\rho(h) = \phi^{h}$

3.2 手算：AR(1) 模拟与 ACF

设 $\phi = 0.7$，生成序列 $X_1 = 1.0$，$\varepsilon_t \sim N(0, 1)$：

$t$	$\varepsilon_t$	$X_t = 0.7X_{t-1} + \varepsilon_t$
0	—	$X_0 = 1.0$（初始值）
1	$0.5$	$X_1 = 0.7 \times 1.0 + 0.5 = 1.20$
2	$-0.3$	$X_2 = 0.7 \times 1.20 - 0.3 = 0.54$
3	$0.8$	$X_3 = 0.7 \times 0.54 + 0.8 = 1.178$
4	$-0.1$	$X_4 = 0.7 \times 1.178 - 0.1 = 0.725$
5	$0.6$	$X_5 = 0.7 \times 0.725 + 0.6 = 1.107$
6	$-0.5$	$X_6 = 0.7 \times 1.107 - 0.5 = 0.275$
7	$0.2$	$X_7 = 0.7 \times 0.275 + 0.2 = 0.393$
8	$0.4$	$X_8 = 0.7 \times 0.393 + 0.4 = 0.675$
9	$-0.7$	$X_9 = 0.7 \times 0.675 - 0.7 = -0.227$
10	$0.3$	$X_{10} = 0.7 \times (-0.227) + 0.3 = 0.141$

3.3 手动计算 ACF（前 3 个滞后）

样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{10}\sum_{t=1}^{10} X_t = \frac{1.20 + 0.54 + \cdots + 0.141}{10} = \frac{6.207}{10} = 0.6207$

计算分母：

$$\sum_{t=1}^{10} (X_t - \bar{X})^2 = (1.20-0.6207)^2 + (0.54-0.6207)^2 + \cdots + (0.141-0.6207)^2$$

$t$	$X_t$	$X_t - \bar{X}$	$(X_t - \bar{X})^2$
1	1.200	0.5793	0.3356
2	0.540	-0.0807	0.0065
3	1.178	0.5573	0.3106
4	0.725	0.1043	0.0109
5	1.107	0.4863	0.2365
6	0.275	-0.3457	0.1195
7	0.393	-0.2277	0.0519
8	0.675	0.0543	0.0029
9	-0.227	-0.8477	0.7186
10	0.141	-0.4797	0.2301

分母 $= 0.3356 + 0.0065 + 0.3106 + 0.0109 + 0.2365 + 0.1195 + 0.0519 + 0.0029 + 0.7186 + 0.2301 = 2.0231$

滞后 1 $h=1$（9 对数据）：

$t$	$(X_t - \bar{X})$	$(X_{t+1} - \bar{X})$	乘积
1	0.5793	-0.0807	-0.0467
2	-0.0807	0.5573	-0.0450
3	0.5573	0.1043	0.0581
4	0.1043	0.4863	0.0507
5	0.4863	-0.3457	-0.1681
6	-0.3457	-0.2277	0.0787
7	-0.2277	0.0543	-0.0124
8	0.0543	-0.8477	-0.0460
9	-0.8477	-0.4797	0.4066

分子 $= 0.2759$（求和）

$$\hat{\rho}(1) = \frac{0.2759}{2.0231} = 0.1364$$

滞后 2 $h=2$（8 对数据）：

$$\text{分子} = (0.5793 \times 0.5573) + (-0.0807 \times 0.1043) + (0.5573 \times 0.4863) + (0.1043 \times (-0.3457)) + (0.4863 \times (-0.2277)) + (-0.3457 \times 0.0543) + (-0.2277 \times (-0.8477)) + (0.0543 \times (-0.4797))$$

$$= 0.3228 - 0.0084 + 0.2710 - 0.0361 - 0.1107 - 0.0188 + 0.1931 - 0.0260 = 0.5869$$

$$\hat{\rho}(2) = \frac{0.5869}{2.0231} = 0.2901$$

滞后 3 $h=3$（7 对数据）：

$$\text{分子} = (0.5793 \times 0.1043) + (-0.0807 \times 0.4863) + (0.5573 \times (-0.3457)) + (0.1043 \times (-0.2277)) + (0.4863 \times 0.0543) + (-0.3457 \times (-0.8477)) + (-0.2277 \times (-0.4797))$$

$$= 0.0604 - 0.0392 - 0.1927 - 0.0237 + 0.0264 + 0.2932 + 0.1092 = 0.2336$$

$$\hat{\rho}(3) = \frac{0.2336}{2.0231} = 0.1155$$

理论 ACF 对比：

滞后 $h$	理论值 $\rho(h) = 0.7^h$	样本估计 $\hat{\rho}(h)$
1	$0.7000$	$0.1364$
2	$0.4900$	$0.2901$
3	$0.3430$	$0.1155$

注意：样本量 $n=10$ 很小，因此样本 ACF 与理论值偏差较大。实践中至少需要 50-100 个观测才有可靠的 ACF 估计。

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四、随机游走

3.1 定义

$$X_t = X_{t-1} + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$$

即 $\phi = 1$ 的 AR(1) 过程——非平稳。

性质：

• $\mathbb{E}[X_t] = X_0$（初始值）
• $\text{Var}(X_t) = t\sigma^2$（方差随时间增长）
• $\text{Cov}(X_t, X_s) = \min(t,s)\sigma^2$
• $\rho(h) \to 1$ 当 $t \to \infty$（极度持久）

3.2 随机游走 vs AR(1) 对比

特征	AR(1) 平稳 ($\phi=0.7$)	随机游走 ($\phi=1.0$)
均值	常数 $0$	$X_0$（不变）
方差	常数 $\sigma^2/(1-\phi^2)$	随时间 $\to \infty$
ACF	$\phi^h \to 0$ 指数衰减	$\to 1$ 缓慢衰减
冲击影响	指数衰减	永久存留
预测	均值回归	当前值是最优预测

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Quant Link：动量策略与均值回归

时间序列分析在量化中的两类核心应用：

1. 动量策略（Momentum）：

   • 依赖于正自相关：过去收益好 $\to$ 未来收益好
   • 运用序列相关性：若 $X_t$ 与 $X_{t-1}$ 正相关，做多过去表现好的资产
   • 时间序列动量：直接对单资产过去 $k$ 期收益回归预测未来收益
   • 代表性文献：Jegadeesh & Titman (1993)

2. 均值回归策略（Mean Reversion）：

   • 依赖于负自相关或平稳性：价格偏离均值后会回归
   • 配对交易（Pairs Trading）：两个协整资产价差 $\to$ 均值回归
   • 统计套利：基于 Ornstein-Uhlenbeck 过程的 $\theta$ 参数
   • Ornstein-Uhlenbeck (OU) 过程：一种均值回归的随机过程，$dX_t = \\theta(\\mu - X_t)dt + \\sigma dW_t$。其中 $dW_t$ 是布朗运动的增量（详见 6.3 布朗运动），$\\theta > 0$ 是回归速度——$\\theta$ 越大，价格偏离均值后回拉越快。均值回归半衰期 $HL = \\ln(2) / \\theta$ 衡量回归速度：若 $\\theta = 0.1$，半衰期 $\\approx 6.9$ 天（即价格偏离均值后，约 7 天回到一半距离）。

3. 识别方法：

   • ACF 图：动量策略选正 ACF 的资产，均值回归选负 ACF 或快速衰减
   • Augmented Dickey-Fuller (ADF) 检验：检验序列是否平稳
   • Hurst 指数：$H < 0.5$（均值回归），$H > 0.5$（趋势/动量）

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Python 验证

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
from statsmodels.tsa.stattools import acf, adfuller

# AR(1) 模拟 φ=0.7
np.random.seed(42)
n = 100
phi = 0.7
X = np.zeros(n)
X[0] = 1.0
for t in range(1, n):
    X[t] = phi * X[t-1] + np.random.normal(0, 1)

# 样本 ACF 对比理论值
sample_acf = acf(X, nlags=5)
theory_acf = [phi**h for h in range(6)]
print("滞后 | 样本 ACF | 理论 ACF")
print("-" * 35)
for h in range(6):
    print(f"  {h}   | {sample_acf[h]:.4f}   | {theory_acf[h]:.4f}")

# 单位根检验（ADF）
adf_stat, p_val = adfuller(X, maxlag=5)[:2]
print(f"\nADF 统计量 = {adf_stat:.4f}, p-value = {p_val:.4f}")
print(f"结论: {'平稳' if p_val < 0.05 else '非平稳'}")

# 随机游走对比
np.random.seed(42)
Y = np.cumsum(np.random.normal(0, 1, n))
adf_stat2, p_val2 = adfuller(Y, maxlag=5)[:2]
print(f"\n随机游走 ADF p-value = {p_val2:.4f}（应为 > 0.05）")

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小结

概念	定义	量化意义
平稳性	统计性质不随时间变化	统计推断有效的前提
ACF $\rho(h)$	$h$ 阶自相关	识别序列依赖模式
AR(1) $\phi$	一阶自回归系数	动量/反转强度
随机游走	$\phi=1$ 的单位根过程	有效市场假说
均值回归	序列围绕均值波动	统计套利基础

下一步：继续学习 05 最优化理论——从统计推断到策略优化。