9.1 浮点精度

浮点数精度是数值计算的基石——忽略它会写出"看似正确实则错误"的代码。量化金融中涉及大量数值运算，理解浮点误差是写出可靠交易系统的前提。

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机器 Epsilon

机器 epsilon ($\varepsilon_m$) 是计算机浮点数系统中，满足 $1.0 + \varepsilon \neq 1.0$ 的最小正数。在 IEEE 754 标准中：

精度	类型	机器 epsilon	有效位数
单精度	float32	$2^{-23} \approx 1.19 \times 10^{-7}$	~7 位
双精度	float64	$2^{-52} \approx 2.22 \times 10^{-16}$	~16 位

Python 中可用以下方式验证：

eps = 1.0
while 1.0 + eps != 1.0:
    eps /= 2.0
print(f"机器 epsilon = {eps * 2}")  # 输出: 2.220446049250313e-16

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灾难性抵消（Catastrophic Cancellation）

当两个大小相近的数相减时，有效数字大量丢失——这是数值计算中最危险的误差来源之一。

手算实例：$(10^{16} + 1) - 10^{16}$

双精度浮点数只有约 16 位有效数字。$10^{16}$ 在双精度下表示为 $1.0 \times 10^{16}$。

步骤	数学运算	计算机实际发生了什么
1	$10^{16} + 1$	$10^{16}$ 的第 17 位是 1，但双精度只有 ~16 位，1 被截断
2	结果	计算机认为 $10^{16} + 1 = 10^{16}$
3	$(10^{16} + 1) - 10^{16}$	$10^{16} - 10^{16} = 0$
4	理论正确结果	$1$

验证：

print((10**16 + 1) - 10**16)  # 输出: 0.0

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如何避免灾难性抵消？

1. 代数变换——共轭有理化

将减法转化为加法或乘法形式。例如，计算 $\frac{1}{\sqrt{x+\delta} - \sqrt{x}}$ 时，分母是两个接近的数相减（灾难性抵消），通过乘以共轭 $\frac{\sqrt{x+\delta} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+\delta} + \sqrt{x}}$ 来消除减法： \frac{1}{\sqrt{x + \delta} - \sqrt{x}} \quad\rightarrow\quad \frac{\sqrt{x + \delta} + \sqrt{x}}{\delta}

### 2. Kahan 求和算法 当需要累加大量浮点数时，使用 Kahan 补偿求和： ```python def kahan_sum(values): """Kahan 补偿求和，减少累积误差""" total = 0.0 compensation = 0.0 # 误差补偿项 for v in values: y = v - compensation t = total + y compensation = (t - total) - y total = t return total ``` ### 3. 使用高精度库 Python 的 `Decimal` 模块或 `math.fsum` 提供了更高精度的数值运算。 --- ## Quant Link：大规模优化中的浮点问题 在**计算期权净值**时，如果两个非常大的头寸方向相反（如一个看涨 + 执行价 100 的空头 + 一个执行价 101 的多头），它们的差值很小但包含关键定价信息——灾难性抵消会**完全抹去**这个价差信号。 ### 常见场景 | 场景 | 风险 | 解决方案 | |------|------|----------| | Greeks 有限差分 | $\epsilon$ 过小导致灾难性抵消 | 选择 $\epsilon \approx \sqrt{\varepsilon_m} \cdot S$ | | 大数相减求价差 | 有效位数丢失 | 代数变换；使用高精度库 | | 大规模组合归因 | 累积舍入误差 | Kahan 求和；Decimal | > **实践建议**：在量化系统中，尽量使用 `float64`（Python 默认）；对精度要求极高的金额计算（如清算对账），使用 `Decimal` 或整数分单位；在数值 Greeks 计算中，遵循 $\epsilon \approx \sqrt{\varepsilon_m} \cdot S$ 的经验法则。 \n> **下一步**：继续学习 [9.2 根求解](./9.2-root-finding)