2.5 PCA（主成分分析）

从大量数据中找到最重要的"隐藏方向"，用少量综合变量解释大部分信息。

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一、先说协方差

PCA 的输入是协方差矩阵。如果你还不熟悉协方差，先从这里看起。

1.1 直觉——两个东西的"同向运动"程度

$X$	$Y$	含义
大盘涨	茅台涨	正相关 → 协方差 > 0
大盘涨	黄金跌	负相关 → 协方差 < 0
大盘涨	随机数	无关系 → 协方差 ≈ 0

1.2 手算协方差

公式：

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$$

$n-1$（而不是 $n$）是因为样本方差的无偏修正——自由度（degrees of freedom）调整。计算方差时除以 $n-1$ 而非 $n$，是因为用样本均值代替总体均值损失了一个自由度。

算一个：两只股票 4 天的日收益率（%）

天	茅台 $X$	五粮液 $Y$
1	+2	+1
2	-1	0
3	+3	+2
4	0	-1

Step 1：计算均值

$$\bar{X} = \frac{2 + (-1) + 3 + 0}{4} = 1.0,\quad \bar{Y} = \frac{1 + 0 + 2 + (-1)}{4} = 0.5$$

Step 2：计算每组的离差乘积

天	$X_i - \bar{X}$	$Y_i - \bar{Y}$	乘积
1	$2 - 1 = 1$	$1 - 0.5 = 0.5$	$1 \times 0.5 = 0.5$
2	$-1 - 1 = -2$	$0 - 0.5 = -0.5$	$(-2) \times (-0.5) = 1.0$
3	$3 - 1 = 2$	$2 - 0.5 = 1.5$	$2 \times 1.5 = 3.0$
4	$0 - 1 = -1$	$-1 - 0.5 = -1.5$	$(-1) \times (-1.5) = 1.5$

Step 3：求和、除以 $n-1$

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{0.5 + 1.0 + 3.0 + 1.5}{4 - 1} = \frac{6.0}{3} = 2.0$$

含义：茅台的日收益率变动 +1% 时，五粮液平均同向变动约 +0.67%（$2.0 / 3.0$，除以茅台方差）。两只白酒股一起涨跌。

1.3 协方差矩阵

有 $p$ 个变量时，把所有两两之间的协方差排成矩阵：

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \text{Var}(X_1) & \text{Cov}(X_1, X_2) & \cdots & \text{Cov}(X_1, X_p) \\ \text{Cov}(X_2, X_1) & \text{Var}(X_2) & \cdots & \text{Cov}(X_2, X_p) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \text{Cov}(X_p, X_1) & \text{Cov}(X_p, X_2) & \cdots & \text{Var}(X_p) \end{bmatrix}$$

关键性质：

• 对称：$\text{Cov}(X_i, X_j) = \text{Cov}(X_j, X_i)$ → $\Sigma = \Sigma^T$
• 半正定：对任何向量 $\boldsymbol{w}$，$\boldsymbol{w}^T \Sigma \boldsymbol{w} \ge 0$（组合方差不能为负）
• 这两个性质保证了 $\Sigma$ 一定有实数特征值、且全部 $\ge 0$——所以可以对它做特征值分解

Quant Link：协方差矩阵是现代投资组合理论的核心。Markowitz 用均值向量 $\boldsymbol{\mu}$ 估计预期收益、用 $\Sigma$ 估计风险，"最优组合"就是在收益和 $\boldsymbol{w}^T \Sigma \boldsymbol{w}$（组合方差）之间做权衡。

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二、核心思想

2.1 直觉

你有 100 只股票的收益率数据，每只都有独立的风险。但它们不是完全独立的——当大盘涨时，大部分股票都涨。也就是说，存在一些"共同因子"驱动着所有股票。

PCA 就是自动找出这些因子的方法。

2.2 PCA = 特征值分解

PCA 在数学上等价于对协方差矩阵做特征值分解：

$$\Sigma = Q \Lambda Q^T$$

• $\lambda_1$（最大特征值）对应第 1 主成分——数据波动最大的方向
• $\lambda_2$（次大）对应第 2 主成分——与 PC1 正交，次大波动方向
• $\boldsymbol{q}_1$（对应的特征向量）告诉你 PC1 在各资产上的权重

2.3 算一个

沿用上面的两只股票，假设协方差矩阵是：

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \text{Var}(X) & \text{Cov}(X, Y) \\ \text{Cov}(Y, X) & \text{Var}(Y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.0 & 2.0 \\ 2.0 & 3.0 \end{bmatrix}$$

对角线上 $\text{Var}(X) = 3.0$ 是茅台自己收益率的方法（从手算数据得），$\text{Var}(Y) = 3.0$ 是五粮液的方法。对称，且是半正定。

对这个矩阵做特征值分解（方法见 2.4 节）：

特征值 $\lambda_1 = 5.0$，$\lambda_2 = 1.0$

$$\boldsymbol{q}_1 = \begin{bmatrix} 0.707 \\ 0.707 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{q}_2 = \begin{bmatrix} 0.707 \\ -0.707 \end{bmatrix}$$

含义：

• PC1（解释 $5.0 / 6.0 = 83.3\%$ 总方差）：两只股票同方向、各占 $0.707$ 权重——这是"白酒板块因子"，当板块整体涨时第一主成分得分高
• PC2（解释 $1.0 / 6.0 = 16.7\%$ 方差）：一只做多、一只做空——这是"价差因子"，当茅台跑赢五粮液时得分高

为什么 $>1$ ？ PCA 在标准化后的数据（相关系数矩阵）上做，特征值之和等于变量个数，所以各主成分的特征值都在 1 附近。这里用协方差矩阵（未标准化），特征值可以大于变量数。

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三、PCA 步骤

1. 标准化：每个特征减去均值、除以标准差（标准化后的协方差矩阵 = 相关系数矩阵，各变量量纲统一）
2. 算协方差（或相关）矩阵
3. 特征值分解，特征值从大到小排列
4. 选择前 $k$ 个：通常取能解释 80-90% 方差的数量
5. 投影：原始数据 $\times$ 前 $k$ 个特征向量 = 降维后的数据

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四、量化应用

4.1 利率曲线

国债收益率曲线有几十个期限（1 个月到 30 年），但 PCA 发现前 3 个主成分就能解释 95% 以上的变动：

主成分	名称	解释比例	含义
PC1	水平	~70%	所有期限利率同时升降
PC2	倾斜	~20%	短端和长端反向变动
PC3	曲率	~5%	中间相对于两端变动

应用：不需要跟踪每个期限的利率风险，只需要管理 3 个因子的暴露。

4.2 协方差矩阵去噪

样本协方差矩阵包含大量噪声。用 PCA 只保留前 $k$ 个主成分来做组合优化，效果往往更好：

def pca_denoise(Sigma, k):
    eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(Sigma)
    eigvals = eigvals.copy()
    eigvals[:-k] = 0  # 小特征值归零
    return eigvecs @ np.diag(eigvals) @ eigvecs.T

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五、Python 实践

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA

# 模拟 50 只股票、500 天的数据
np.random.seed(42)
n_assets, n_days = 50, 500
returns = np.random.randn(n_days, n_assets)

# 用 sklearn 做 PCA
pca = PCA(n_components=10)
pca.fit(returns)

# 看前几个主成分解释了多少方差
var = pca.explained_variance_ratio_
print(f"PC1: {var[0]:.2%}")
print(f"PC2: {var[1]:.2%}")
print(f"PC3: {var[2]:.2%}")
print(f"前5个累计: {var[:5].sum():.2%}")

# 手动实现 PCA
cov = np.cov(returns.T)
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(cov)
idx = np.argsort(eigvals)[::-1]
eigvals, eigvecs = eigvals[idx], eigvecs[:, idx]
print(f"\n第一主成分（前5个权重）: {eigvecs[:5, 0].round(4)}")

\n> 下一步：继续学习 2.6 矩阵微积分