8.3 频谱分析

频谱分析（Spectral Analysis）通过傅里叶变换将时间序列分解为不同频率成分，量化各频率的贡献大小，是识别金融数据中隐藏周期的核心工具。

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时域 vs 频域

视角	横轴	观察什么	典型问题
时域	时间 $t$	价格 $P(t)$ 如何随时间变化	价格是否趋势上涨？
频域	频率 $\omega$	不同频率成分的幅度 $	F(\omega)

核心直觉：任何看似不规则的时间序列都可以看作多个正弦波的叠加，每个正弦波有其特定的频率、幅度和相位。

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功率谱密度（Power Spectrum）

功率谱密度（PSD）定义为幅度谱的平方：

$$P(\omega) = |F(\omega)|^2$$

它量化了频率 $\omega$ 处的能量贡献——PSD 越高的频率，对原始信号的贡献越大。

频谱的直观理解

• 低频（大周期）：长期趋势、商业周期（~3-5 年）、宏观因子
• 中频（中等周期）：季节性（~1 年）、财报周期（~3 个月）
• 高频（短周期）：市场微观结构噪音、做市商报价跳跃

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Python 示例：FFT 合成信号分解

import numpy as np

# --- 合成信号：两个正弦波 + 噪音 ---
np.random.seed(42)
fs = 1000          # 采样率（**Hz**——赫兹，频率单位，1 Hz = 每秒 1 个周期。1000 Hz = 每秒采集 1000 个数据点）
T = 2              # 信号时长 (秒)
t = np.linspace(0, T, int(fs * T), endpoint=False)

# 两个频率成分
f1, f2 = 5, 50     # Hz
signal = (1.0 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) +
          0.5 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t))

# 添加噪音
noise = 0.3 * np.random.randn(len(t))
signal_noisy = signal + noise

# --- FFT ---
N = len(signal_noisy)
fft_vals = np.fft.fft(signal_noisy)
fft_freqs = np.fft.fftfreq(N, 1/fs)

# 取正频率部分并计算幅度谱
pos_mask = fft_freqs > 0
freqs = fft_freqs[pos_mask]
amplitude = 2.0 / N * np.abs(fft_vals[pos_mask])

# 找出主导频率
top_idx = np.argsort(amplitude)[-5:]  # 前 5 大幅度
print("主导频率分量:")
for idx in top_idx[::-1]:
    print(f"  频率 = {freqs[idx]:.2f} Hz, "
          f"幅度 = {amplitude[idx]:.4f}")

# --- 输出示例 ---
# 主导频率分量:
#   频率 = 5.00 Hz, 幅度 = 1.0012
#   频率 = 50.00 Hz, 幅度 = 0.5015
#   (其余为噪音引起的小幅度杂散频率)

关键结论：FFT 准确地恢复了合成信号的两个主导频率（5 Hz 和 50 Hz），幅度也与真实值（1.0 和 0.5）非常接近。在量化金融中，对收益率序列做 FFT 可以自动识别出显著的周期性模式。

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Quant Link：识别商业周期频率

对 GDP 增长率或股票指数收益率序列做傅里叶变换，通常会在以下频率处看到尖峰（显著周期）：

周期	对应频率（月$^{-1}$）	可能来源
3-5 年	$0.017$-$0.028$	经济周期（扩张/收缩）
1 年	$0.083$	季节性（销售旺季、税收效应）
3 个月	$0.333$	财报季节效应
1 个月	$1.0$	月末效应、结算周期

实操示例：用 FFT 分析实际收益率

import yfinance as yf
# 下载标普 500 日收益率（示例，需联网）
# spx = yf.download('^GSPC', start='2010-01-01')['Adj Close']
# returns = np.diff(np.log(spx.values))  # 对数收益率
# 
# N = len(returns)
# fft_ret = np.fft.fft(returns)
# freqs = np.fft.fftfreq(N, d=1)  # d=1 表示日频
# 
# 正频率幅度
# pos = freqs > 0
# 周期 = 1/freqs[pos]  # 以交易日为单位
# 通过观察哪些周期对应的幅度显著异常，可以识别出季度效应、年度效应等

重要注意事项

实际应用中，金融收益率序列通常不是平稳的——FFT 仅适用于弱平稳序列。因此常配合差分或Hodrick-Prescott (HP) 滤波（一种将时间序列分解为趋势成分和周期成分的平滑方法，通过选择平滑参数 $\lambda$ 控制趋势的光滑程度）预处理后再做频谱分析。

频谱插值与缺口填充

在固定收益中，频谱分析法（Spectral Analysis）用于识别债券收益率曲线中的周期模式，帮助填补流动性不足的期限缺口。

Quant Link：Malliavin 和 Mancino (2002) 提出了用傅里叶变换估计已实现协方差的方法——通过对价格增量做傅里叶变换并乘积，可以得到同步且稳健的波动率和协方差估计，避免了 Epps 效应（不同频率采样导致的相关系数低估）。 \n> 下一步：继续学习 8.4 量化金融应用