2.1 向量与矩阵

一切从向量和矩阵开始。它们是线代里"组织数据"和"描述关系"的基本单位。

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一、向量

1.1 向量是什么

向量就是一列有序的数。写成竖着的叫列向量，横着的叫行向量：

$$\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}^T = [v_1, v_2, \dots, v_n]$$

一个最简单的例子：你有三只股票，权重分别为 $30\%$、$50\%$、$20\%$，这就是一个向量：

$$\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.5 \\ 0.2 \end{bmatrix}$$

1.2 基本运算

加法：对应位置相加

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$$

数乘：每个分量乘以同一个常数

$$3 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$$

点积（内积）：对应位置相乘，再加起来

$$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \sum_{i=1}^n u_i v_i$$

拿数字算一遍：$\boldsymbol{u} = [1, 2]$，$\boldsymbol{v} = [3, 4]$

$$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11$$

几何意义：$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \|\boldsymbol{u}\| \|\boldsymbol{v}\| \cos\theta$，其中 $\theta$ 是两向量的夹角。

• 点积为正 → 方向相近
• 点积为负 → 方向相反
• 点积为零 → 垂直（正交）

Quant Link：两只股票的相关系数本质上就是标准化后的点积。如果你把两只股票的收益率序列看作两个向量，相关系数就是这两个向量的夹角余弦——相关性高 = 方向相近，相关性低/负 = 方向垂直/相反。这就是组合分散化的数学基础。

1.3 向量的长度

向量的"长度"叫范数。

最常见的 L2 范数（欧几里得距离）：

$$\|\boldsymbol{v}\|_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$$

算一下：$\boldsymbol{v} = [3, 4]$，$\|\boldsymbol{v}\|_2 = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

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二、矩阵

2.1 矩阵是什么

矩阵就是一个矩形的数字表。$m \times n$ 矩阵表示 $m$ 行 $n$ 列：

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

在量化中，最常见的是收益率矩阵：行是时间（比如 500 天），列是资产（比如 100 只股票）。$R_{ij}$ 就是第 $i$ 天第 $j$ 只股票的收益率。

2.2 矩阵乘法

矩阵乘法不是对应位置相乘。规则是：$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}$，其中：

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}$$

手算一个：$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$

$$AB = \begin{bmatrix} 1\times5 + 2\times7 & 1\times6 + 2\times8 \\ 3\times5 + 4\times7 & 3\times6 + 4\times8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 + 14 & 6 + 16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

注意：$AB \neq BA$（一般情况）。矩阵乘法不满足交换律。

2.3 特殊矩阵

类型	例子	说人话
单位矩阵 $I$	$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$	对角线上是 1，其他是 0，相当于"数字 1"
对角矩阵	$\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$	只有对角线上有值，其他地方是 0
对称矩阵	$\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}$	$A^T = A$，沿对角线对称
转置 $A^T$	$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}$	行列互换

2.4 矩阵的逆

如果存在 $B$ 使得 $AB = BA = I$，则 $B = A^{-1}$ 是 $A$ 的逆矩阵。

手算 2×2 矩阵的逆：

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

$ad - bc$ 称为行列式。行列式为零 → 矩阵不可逆（奇异）。

算 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$：

$$A^{-1} = \frac{1}{1\times4 - 2\times3} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$$

验证：$A \times A^{-1} = \begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ ✅

Quant Link：Markowitz 最优组合需要计算协方差矩阵的逆：$\boldsymbol{w}^* = \frac{\Sigma^{-1} \boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}}$。如果 $\Sigma$ 不可逆（奇异），说明存在冗余资产——有些资产可以被其他资产线性复制。

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三、Python 实践

import numpy as np

# 向量运算
u = np.array([1, 2])
v = np.array([3, 4])
print(f"u + v = {u + v}")        # [4, 6]
print(f"3u   = {3 * u}")         # [3, 6]
print(f"u·v  = {np.dot(u, v)}")  # 11
print(f"|v|  = {np.linalg.norm(v):.4f}")  # 5.0

# 矩阵乘法
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print(f"\nA × B =\n{A @ B}")

# 矩阵的逆
A_inv = np.linalg.inv(A)
print(f"\nA⁻¹ =\n{A_inv}")
print(f"A × A⁻¹ =\n{A @ A_inv}")

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小结

概念	要点	量化用途
向量	一组有序的数	权重、收益率序列
点积	对应位置相乘再求和	相关性 = 标准化点积
范数	向量的长度	L1→Lasso，L2→Ridge
矩阵	数字表	多资产收益率数据
逆矩阵	矩阵的"倒数"	组合优化、方程求解
\n> 下一步：继续学习 2.2 线性方程组