1.2 导数与微分

导数描述函数的变化率，是梯度下降、牛顿法、期权希腊值的数学基础。

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一、导数的定义

1.1 几何意义

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 就是该点 切线的斜率。

斜率描述变化有多快——正值表示上升、负值表示下降、绝对值越大变化越剧烈。

1.2 极限定义

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

自变量变化一个极小的量 $h$，函数值变化了多少——两者之比在 $h \to 0$ 时的极限。

另一种等价写法（更常用）：令 $x = x_0 + h$，则 $h = x - x_0$，当 $h \to 0$ 时 $x \to x_0$：

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

1.3 从定义出发推导

例 1：求 $f(x) = x^2$ 的导数 $f'(x)$（通式）。

直接用定义：

$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x \end{aligned}$$

所以 $x^2$ 的导数是 $2x$，在任何点 $x$ 处都成立。例如在 $x = 3$ 处，$f'(3) = 6$。

例 2：求 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 的导数。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h \cdot x(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2} \end{aligned}$$

1.4 可导与连续的关系

• 可导 $\Rightarrow$ 连续：如果导数存在，函数一定连续
• 连续 $\nRightarrow$ 可导：连续不一定可导（例如 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导——左右导数分别是 $-1$ 和 $1$）

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二、求导法则

2.1 基本公式

关于 $\ln$（自然对数）

$\ln x$ 表示以 $e$（$e \approx 2.71828$）为底的对数，即 $\ln x = \log_e x$，读作"自然对数"。它与常用对数 $\log_{10} x$ 的关系是：$\ln x \approx 2.3026 \times \log_{10} x$。$\ln$ 在微积分中比 $\log_{10}$ 更常用，因为 $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ 形式最简洁。

函数	导数	例
$c$（常数）	$0$	$\dfrac{d}{dx}(5) = 0$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$\dfrac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$e^x$	$e^x$	自身导数不变
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	—
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	—
$a^x$	$a^x \ln a$	$\dfrac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln 2$

2.2 四则运算法则

法则	公式
和差	$(f \pm g)' = f' \pm g'$
常数倍	$(cf)' = cf'$
乘积	$(fg)' = f'g + fg'$
商	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$

乘积法则例：求 $(x^2 \sin x)'$

$$(x^2 \sin x)' = (x^2)'\sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$$

商法则例：求 $\left(\dfrac{x}{e^x}\right)'$

$$\left(\frac{x}{e^x}\right)' = \frac{(1)(e^x) - (x)(e^x)}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{1 - x}{e^x}$$

2.3 链式法则（最重要）

复合函数的导数 = 外层导数 $\times$ 内层导数

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

例 1：求 $\sin(3x^2 + 1)$ 的导数

• 外层：$\sin(u)$，导数 $\cos(u)$
• 内层：$u = 3x^2 + 1$，导数 $6x$
• 结果：$\cos(3x^2 + 1) \cdot 6x$

例 2：求 $e^{x^2}$ 的导数

• 外层：$e^u$，导数 $e^u$
• 内层：$u = x^2$，导数 $2x$
• 结果：$e^{x^2} \cdot 2x$

例 3（三层嵌套）：求 $\sin(e^{x^2})$ 的导数

• 最外层：$\sin(u)$ → $\cos(u)$
• 中层：$u = e^v$ → $e^v$
• 内层：$v = x^2$ → $2x$
• 结果：$\cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

TIP

链式法则是神经网络反向传播的数学本质——误差从输出层逐层"链式"传回输入层，每层乘以该层的局部梯度。

2.4 隐函数求导

若 $y$ 通过方程 $F(x, y) = 0$ 隐含定义，则两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 看成 $y(x)$。

例：求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上 $(3, 4)$ 处的切线斜率

两边对 $x$ 求导：

$$2x + 2y \cdot y' = 0 \quad \Rightarrow \quad y' = -\frac{x}{y}$$

在 $(3, 4)$ 处：$y' = -\dfrac{3}{4}$

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三、高阶导数

$f''(x)$ 是导数的导数，描述 变化率的变化率。

阶数	符号	含义
一阶	$f'$	变化的方向和快慢
二阶	$f''$	变化率的增减（函数的凸凹性）
三阶	$f'''$ 或 $f^{(3)}$	变化率的变化率的变化率

例：$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5$

$$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x + 2 \\ f''(x) &= 6x - 6 \\ f'''(x) &= 6 \end{aligned}$$

二阶导的正负决定函数凹凸性：$f''(x) > 0$ 时函数是凸的（向上弯曲），$f''(x) < 0$ 时是凹的（向下弯曲）。

量化应用：期权中 Delta 是一阶敏感度，Gamma 是二阶（Delta 的变化率）。Gamma 越大，说明 Delta 越不稳定，对冲需要更频繁地调整。

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四、泰勒展开

用多项式逼近任意光滑函数。其中 $n!$（阶乘，$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$，例如 $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$）用于控制每项的分母权重。

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

一阶近似（线性逼近）：$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$

二阶近似（二次逼近）：$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2$

例：$e^x$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

取前两项估算 $e^{0.1}$：$1 + 0.1 = 1.1$（真实值 $\approx 1.10517$，误差仅 $0.5\%$）

取前三项：$1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} = 1.105$（误差 $0.015\%$）

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五、偏导数与梯度

5.1 偏导数

多元函数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 对其中一个变量的导数，其他变量视为常数：

$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_i + h, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_n)}{h}$$

例：$f(x, y) = x^2 y + 3y^2$

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy,\quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y$$

5.2 梯度向量

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)$$

几何意义：梯度方向是函数上升最快的方向。梯度下降就是用 负梯度方向 更新参数来找最小值。

5.3 全微分

$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n$$

全微分描述了当所有自变量同时微小变化时，函数值的总变化量。

量化应用：期权定价中 Delta 衡量价格对标的价格的偏导，Rho 衡量对利率的偏导。期权的全微分（价格变化公式）就是：

$$dP = \Delta \cdot dS + \frac{1}{2}\Gamma \cdot (dS)^2 + \Theta \cdot dt + \rho \cdot dr$$

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六、Python 实践

符号求导

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
f = x**3 + 2*x**2 - 5*x + 1
f_prime = sp.diff(f, x)
print(f"f'(x) = {f_prime}")  # 3*x^2 + 4*x - 5

# 链式法则验证
expr = sp.sin(3*x**2 + 1)
print(sp.diff(expr, x))  # 6*x*cos(3*x^2 + 1)

# 高阶导数
f2 = x**4 + 2*x**3
print(f"f''(x) = {sp.diff(f2, x, 2)}")  # 12*x^2 + 12*x

数值求导

import numpy as np

def numerical_derivative(f, x, h=1e-6):
    """中心差分法——精度比单边差分高一阶"""
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

f = lambda x: x**2
print(f"f'(3) ≈ {numerical_derivative(f, 3):.6f}")  # 6.000000

# 验证 sin(x) 的导数确实是 cos(x)
g = lambda x: np.sin(x)
for x_test in [0, 0.5, 1.0]:
    approx = numerical_derivative(g, x_test)
    exact = np.cos(x_test)
    print(f"sin'({x_test}) ≈ {approx:.6f}, cos({x_test}) = {exact:.6f}")

梯度计算

def gradient(f, x, h=1e-6):
    """数值梯度——对向量 x 逐元素求偏导"""
    grad = np.zeros_like(x)
    for i in range(len(x)):
        x_plus = x.copy()
        x_minus = x.copy()
        x_plus[i] += h
        x_minus[i] -= h
        grad[i] = (f(x_plus) - f(x_minus)) / (2 * h)
    return grad

# 测试：f(x, y) = x^2 + 3y^2
f = lambda v: v[0]**2 + 3 * v[1]**2
x0 = np.array([2.0, 3.0])
grad = gradient(f, x0)
print(f"∇f(2, 3) ≈ ({grad[0]:.4f}, {grad[1]:.4f})")  # (4.0, 18.0)
print(f"exact        (4.0, 18.0)")

# 验证梯度方向是上升最快方向
import numpy.linalg as LA
direction = grad / LA.norm(grad)
print(f"梯度方向（单位向量）: ({direction[0]:.4f}, {direction[1]:.4f})")

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七、量化 & ML 应用

概念	应用
一阶导	梯度下降、期权 $\Delta$（价格对标的价格敏感度）
二阶导	期权 $\Gamma$（Delta 变化率）、牛顿法优化
偏导数	多因子模型的因子暴露度、利率敏感度 $\partial P / \partial r$
梯度	神经网络反向传播、Markowitz 有效前沿优化
泰勒展开	期权 $\Theta$（时间衰减）近似、VaR 的 Delta-Normal 法
链式法则	多层网络的梯度传播（每个神经元都应用链式法则）

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小结

概念	要点
导数定义	$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
求导法则	和差积商 + 链式法则
链式法则	复合函数求导的灵魂，也是反向传播的本质
高阶导	二阶导决定凹凸性，Gamma = 期权凸性
泰勒展开	用多项式逼近任意光滑函数
偏导与梯度	多元导数，指向最速上升方向

下一步：1.3 积分学——导数的逆运算，也是概率密度归一化和期望计算的基础。