9.3 数值积分

绝大多数金融模型的期望值、折现值都需要积分计算——但解析解往往不存在。数值积分是将这些连续问题离散化的基础工具。

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梯形法则（Trapezoidal Rule）

公式

将 $[a, b]$ 均分为 $n$ 个小区间，每个小区间用梯形近似：

$$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih) + f(b) \right],\quad h = \frac{b-a}{n}$$

• 误差阶：$\mathcal{O}(h^2)$（$\mathcal{O}$ 是大O记号，表示数量级。$\mathcal{O}(h^2)$ 意思是误差与 $h^2$ 成正比——$h$ 缩小一半，误差缩小到 $1/4$）
• 每增加一倍节点，误差约减少至 $1/4$

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手算实例：$\int_0^1 x^2 dx$ 用 4 个梯形

$n = 4$，步长 $h = (1 - 0)/4 = 0.25$。

节点 $i$	$x_i$	$f(x_i) = x_i^2$	权重
0	0.00	$0.00^2 = 0.0000$	1（端点）
1	0.25	$0.25^2 = 0.0625$	2
2	0.50	$0.50^2 = 0.2500$	2
3	0.75	$0.75^2 = 0.5625$	2
4	1.00	$1.00^2 = 1.0000$	1（端点）

$$\begin{aligned} \text{加权和} &= 1 \times 0 + 2 \times 0.0625 + 2 \times 0.2500 + 2 \times 0.5625 + 1 \times 1.0000 \\ &= 0 + 0.1250 + 0.5000 + 1.1250 + 1.0000 \\ &= 2.7500 \end{aligned}$$

$$\int_0^1 x^2 dx \approx \frac{0.25}{2} \times 2.7500 = 0.34375$$

理论值：$\int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} \approx 0.33333$

误差：$0.34375 - 0.33333 = 0.01042$（约 3.13%）

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辛普森法则（Simpson's Rule）

使用抛物线（二次多项式）近似每个小区间，需要 $n$ 为偶数：

$$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1, \text{odd}}^{n-1} f(a+ih) + 2 \sum_{i=2, \text{even}}^{n-2} f(a+ih) + f(b) \right]$$

• 误差阶：$\mathcal{O}(h^4)$
• 权重模式：$1, 4, 2, 4, 2, \dots, 4, 1$

同例：$\int_0^1 x^2 dx$ 用 Simpson 法则（$n=4$）

权重模式为 $1, 4, 2, 4, 1$：

$$\begin{aligned} \int_0^1 x^2 dx &\approx \frac{0.25}{3} [1 \times 0 + 4 \times 0.0625 + 2 \times 0.2500 + 4 \times 0.5625 + 1 \times 1.0000] \\ &= \frac{0.25}{3} [0 + 0.25 + 0.50 + 2.25 + 1.00] \\ &= \frac{0.25}{3} \times 4.00 = 0.33333 \end{aligned}$$

对于二次函数 $f(x) = x^2$，Simpson 法则给出精确解——因为抛物线的二次多项式可以精确拟合二次函数。

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Python 示例

import numpy as np

def trapezoidal(f, a, b, n):
    """梯形法则数值积分"""
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n + 1)
    y = f(x)
    return h * (0.5 * y[0] + 0.5 * y[-1] + np.sum(y[1:-1]))

def simpson(f, a, b, n):
    """辛普森法则数值积分（n 必须为偶数）"""
    if n % 2 != 0:
        raise ValueError("n 必须为偶数")
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n + 1)
    y = f(x)
    return h / 3 * (y[0] + y[-1] + 
                    4 * np.sum(y[1:-1:2]) + 
                    2 * np.sum(y[2:-2:2]))

f = lambda x: x**2
print(f"梯形法 (n=4): {trapezoidal(f, 0, 1, 4):.6f}")
print(f"Simpson (n=4): {simpson(f, 0, 1, 4):.6f}")
print(f"理论值:        {1/3:.6f}")
# 输出:
# 梯形法 (n=4): 0.343750
# Simpson (n=4): 0.333333
# 理论值:        0.333333

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Quant Link：期权定价中的数值积分

欧式期权定价

Black-Scholes 公式有解析解，但许多衍生品（如亚式期权、障碍期权）没有闭式解，需要使用数值积分：

$$V = e^{-rT} \int_{-\infty}^{\infty} \text{Payoff}(S_T) \cdot q(S_T) dS_T$$

其中 $q(S_T)$ 是到期价格的风险中性密度。当密度函数复杂或非参数化时，用数值积分计算。

扩展方法

方法	精度	适用场景
梯形法则	$\mathcal{O}(h^2)$	一般积分，低维
Simpson 法则	$\mathcal{O}(h^4)$	精度要求较高时
高斯求积（Gauss-Legendre quadrature——通过选择最优积分点位置和权重，用很少的点达到很高精度的数值求积方法）	指数收敛	光滑函数，最多 ~100 个节点
蒙特卡洛积分	$\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$	高维积分（>3 维）

在蒙特卡洛定价中，数值积分思想延伸为随机采样——高维积分（如亚式期权的路径积分）只能用 MC 方法。 \n> 下一步：继续学习 9.4 数值Greeks