3.1 概率空间与条件概率

概率论用数学语言描述"不确定性"——给每个可能的结果分配一个 0 到 1 之间的数字。

先验知识

学习本章前，你需要熟悉：

集合论基础：并集、交集、补集

本章涉及的所有概率概念都将从零定义。如果你读到"ℱ"或"σ-代数"时感到陌生，下文会详细解释。

一、概率空间

1.1 样本空间与事件

样本空间 $\Omega$ 是随机试验所有可能结果的集合。事件是 $\Omega$ 的子集。

例：掷一颗骰子， $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ 。事件 $A = \{\text{点数} \le 4\} = \{1,2,3,4\}$ 。

事件运算对应集合运算：

概率语言	集合语言
事件 $A$ 发生	$A \subseteq \Omega$
事件 $A$ 与 $B$ 同时发生	$A \cap B$
$A$ 或 $B$ 至少一个发生	$A \cup B$
$A$ 不发生（补事件）	$A^c$
必然事件	$\Omega$
不可能事件	$\varnothing$

1.2 事件的集合——σ-代数

概率论中，我们不是随便什么子集都能算概率的。有些集合太"奇怪"（比如无理数集合），需要小心定义。所以我们把所有"合法"的事件收集起来，构成 $\mathcal{F}$ （读作"F 花体"），称为 σ-代数。

定义： $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的子集的集合，满足：

$\Omega \in \mathcal{F}$ （整个样本空间是事件）
若 $A \in \mathcal{F}$ ，则 $A^c \in \mathcal{F}$ （补集封闭）
若 $A_1, A_2, \\dots \\in \\mathcal{F}$ ，则 $\\bigcup_{i=1}^\\infty A_i \\in \\mathcal{F}$ （可列并封闭——可列（countable）：可以按自然数编号的集合，比如整数集 $\\{1,2,3,\\dots\\}$ 。可列并就是可数无穷多个集合的并集）

通俗理解：σ-代数就是"你可以问概率的所有事件的合集"。条件 2 和 3 保证了你可以安全地对事件取补集和取并集，而不会跑出这个合集。

为什么需要这个？ 第 06 章随机过程中的过滤 $\{\mathcal{F}_t\}$ 就是 σ-代数的递增序列——它表示"到时间 $t$ 为止，市场已经释放的信息"。你把 σ-代数理解成"到某个时刻为止，所有你知道能问概率的事件的集合"即可。

对于本 Wiki 的实际目的：你只需要记住概率空间的标准写法 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 三要素，知道 $\mathcal{F}$ 是"所有事件的集合"，以及 $\mathcal{F}$ 在随机过程中会升级为"信息流"。测度论的细节完全不需要。

1.3 概率公理（Kolmogorov 公理）

概率测度 $P: \mathcal{F} \to [0,1]$ 满足：

非负性： $\forall A \in \mathcal{F},\; P(A) \ge 0$
归一性： $P(\Omega) = 1$
可列可加性：若 $A_1, A_2, \dots$ 互不相交，则 $P(\bigcup_i A_i) = \sum_i P(A_i)$

推论： $P(\varnothing) = 0$ ， $P(A^c) = 1 - P(A)$ ， $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 。

二、条件概率

2.1 定义

已知事件 $B$ 发生的条件下， $A$ 发生的条件概率：

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)},\quad P(B) > 0

算一个：从一副标准扑克牌（52 张）中随机抽一张。已知抽到的牌是红色，求它是红心 $\heartsuit$ 的概率。

步骤	计算
事件 $A$ = 红心	$P(A) = \frac{13}{52} = \frac14$
事件 $B$ = 红色（红心 $\cup$ 方块）	$P(B) = \frac{26}{52} = \frac12$
交集 $A \cap B$ = 红心	$P(A \cap B) = \frac{13}{52} = \frac14$
条件概率	$P(A \mid B) = \frac{1/4}{1/2} = \frac12$

直观理解：红色牌共有 26 张，其中红心 13 张，所以 $13/26 = 1/2$ 。✅

2.2 乘法公式

P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B) = P(B \mid A)\,P(A)

三、全概率公式与贝叶斯定理

3.1 全概率公式

若 $\{B_1, B_2, \dots, B_n\}$ 是 $\Omega$ 的一个分割（互不相交且并集为 $\Omega$ ），则：

P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \mid B_i)\,P(B_i)

3.2 贝叶斯定理

P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i)\,P(B_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^n P(A \mid B_j)\,P(B_j)}

算一个：某种罕见疾病的患病率为 $0.1\%$ 。检测准确率：患病者检测阳性的概率为 $99\%$ ，健康者检测阴性的概率为 $98\%$ 。如果一个人检测为阳性，他真正患病的概率是多少？

设 $D$ = 患病， $T^+$ = 检测阳性。

先验	数值
$P(D)$ = 患病率	$0.001$
$P(D^c)$ = 健康率	$0.999$
$P(T^+ \mid D)$ = 灵敏度	$0.99$
$P(T^+ \mid D^c)$ = 误报率	$0.02$

\begin{aligned} P(T^+) &= P(T^+ \mid D)P(D) + P(T^+ \mid D^c)P(D^c) \\ &= 0.99 \times 0.001 + 0.02 \times 0.999 \\ &= 0.00099 + 0.01998 = 0.02097 \end{aligned}

\begin{aligned} P(D \mid T^+) &= \frac{0.99 \times 0.001}{0.02097} \approx 0.0472 \end{aligned}

即使检测阳性，真正患病的概率也只有约 $4.7\%$ ——这就是"假阳性"的威力。

Quant Link：风险中性概率 在衍生品定价中，风险中性概率 $Q$ 本质上是经过测度变换后的条件概率。资产价格在 $Q$ 下的期望贴现值为当前价格：
$V_t = \mathbb{E}^Q[e^{-r(T-t)} V_T \mid \mathcal{F}_t]$
这正是贝叶斯思想和测度变换在量化金融中的核心应用，为 Black-Scholes 模型和蒙特卡洛定价提供了严格的概率基础。

四、Python 验证

python

import numpy as np

# 贝叶斯定理验证：罕见疾病
P_D = 0.001
P_T_given_D = 0.99
P_T_given_notD = 0.02

P_T = P_T_given_D * P_D + P_T_given_notD * (1 - P_D)
P_D_given_T = P_T_given_D * P_D / P_T

print(f"P(阳性)    = {P_T:.5f}")
print(f"P(患病|阳性) = {P_D_given_T:.4f} (= {P_D_given_T*100:.2f}%)")

小结

概念	要点
概率空间	$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 三要素
条件概率	$P(A\mid B) = P(A\cap B)/P(B)$
贝叶斯定理	后验 $\propto$ 似然 $\times$ 先验
风险中性定价	概率测度变换的量化应用

下一步：继续学习 3.2 随机变量与分布——将事件映射到实数，为统计分析奠定基础。

3.1 概率空间与条件概率 ​

先验知识 ​

一、概率空间 ​

1.1 样本空间与事件 ​

1.2 事件的集合——σ-代数 ​

1.3 概率公理（Kolmogorov 公理） ​

二、条件概率 ​

2.1 定义 ​

2.2 乘法公式 ​

三、全概率公式与贝叶斯定理 ​

3.1 全概率公式 ​

3.2 贝叶斯定理 ​

四、Python 验证 ​

小结 ​