6.3 布朗运动

布朗运动（Wiener 过程）是现代金融数学的基石——它提供了随机建模的连续时间框架，是 Black-Scholes 期权定价模型的核心工具。

定义

标准布朗运动（Wiener 过程）$\{W_t\}_{t \ge 0}$ 满足：

1. 初始条件：$W_0 = 0$ a.s.（almost surely，几乎必然：概率为 1 地成立，详见 3.5）
2. 独立增量：对 $0 \le s < t$，$W_t - W_s$ 与 $\mathcal{F}_s$ 独立
3. 正态增量：$W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t - s)$
4. 连续路径：样本路径几乎处处连续

为什么 $dW_t \sim \mathcal{N}(0, dt)$？

考虑时间区间 $[0, T]$，分割为 $n$ 等份，每段 $\Delta t = T/n$。定义：

$$W_T = \sum_{i=1}^n \Delta W_i,\quad \Delta W_i \sim \mathcal{N}(0, \Delta t)$$

对任意 $\Delta t$，$\Delta W_i$ 的方差恰好等于 $\Delta t$：

性质	推导	意义
$\mathbb{E}[\Delta W] = 0$	正态分布对称	增量无偏
$\text{Var}(\Delta W) = \Delta t$	$\mathbb{E}[(\Delta W)^2] = \Delta t$	方差与时间步长成正比
$\text{Var}(W_T) = n \cdot \Delta t = T$	独立增量方差可加	总方差等于总时间

因此，增量 $dW_t$ 的方差无穷小，与时间微分成正比。这恰是随机微积分（Itô 积分）的核心：

(dW_t)^2 = dt \\quad \\text{(在**均方意义**下——**均方意义**（mean-square sense）：指随机变量的平方的期望收敛，即 $\\mathbb{E}[((dW_t)^2 - dt)^2] \\to 0$。简单理解为"在平均意义上成立")}

二次变分（Quadratic Variation）

布朗运动的一个重要性质是其二次变分不为零。定义时间分割 $\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\}$，二次变分为：

$$[W]_T = \lim_{\|\Pi\| \to 0} \sum_{i=1}^n (W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2$$

对于布朗运动：

步长	$\sum (\Delta W)^2$ 的期望	含义
$\Delta t = T/n$	$n \cdot \Delta t = T$	二次变分收敛到 $T$
$\Delta t \to 0$	极限为 $T$ (a.s.)	与普通光滑函数不同（光滑函数的二次变分为零）

这意味着：

$$[W]_t = t$$

为什么这是革命性的？ 对于可微函数 $f$，$\sum (\Delta f)^2 \to 0$；但布朗运动的路径如此"崎岖"，二次变分不消失。这导致 Itô 公式中多出一项修正项：

$$df(W_t) = f'(W_t) dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t) dt$$

直观理解：普通微积分中 $df = f'(W) dW$ 就足够了——因为 $dW$ 是无穷小量，$dW^2$ 更是高阶无穷小，可以忽略。但对于布朗运动，$(dW_t)^2 = dt$（在均方意义下），$dW$ 的平方项不是高阶无穷小——它和时间微分成正比！因此对 $f$ 做泰勒展开时，二阶项 $\frac{1}{2}f''(W) (dW)^2 = \frac{1}{2}f''(W) dt$ 必须保留。这就是 Itô 公式中修正项 $\frac{1}{2}f''(W_t)dt$ 的来源。

通俗说法：布朗运动太"抖"了，一阶近似不够，必须考虑二阶效应。就像你开车走颠簸路——路面不平到二阶导数都起作用。在量化金融中，Itô 公式是将期权价格的运动与标的资产价格的运动联系起来的核心数学工具。

布朗运动的性质一览

性质	描述
连续性	路径几乎处处连续，但处处不可微
二次变分	$\sum (\Delta W)^2 \to T$，不为零
自相似性	$W_{at} \stackrel{d}{=} \sqrt{a} W_t$
鞅性	$W_t$ 是一个 $\mathcal{F}_t$-鞅
马氏性	未来分布只依赖于当前值，与历史路径无关——即给定现在，未来和过去独立（$P(X_{t+h} \le x \mid \mathcal{F}_t) = P(X_{t+h} \le x \mid X_t)$）。这称为马尔可夫性质，是布朗运动的一个重要简化性质
	重对数律：布朗运动的振荡幅度大致为 $\\sqrt{2t \\log\\log(1/t)}$ 的量级——比 $\\sqrt{t}$ 稍大一点点，但不会无限超过它

Python：模拟布朗运动路径

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_brownian(T=1.0, n_steps=1000, n_paths=5):
    """
    模拟标准布朗运动路径
    Parameters:
        T: 总时间
        n_steps: 时间步数
        n_paths: 模拟路径数
    Returns:
        t: 时间点数组
        W: 布朗运动路径矩阵 (n_paths, n_steps+1)
    """
    dt = T / n_steps
    t = np.linspace(0, T, n_steps + 1)

    # 正态随机增量 ~ N(0, dt)
    dW = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(n_paths, n_steps))

    # 累加得到布朗运动路径
    W = np.zeros((n_paths, n_steps + 1))
    W[:, 1:] = np.cumsum(dW, axis=1)

    return t, W

# 模拟 5 条路径
t, W = simulate_brownian(T=1.0, n_steps=1000, n_paths=5)

# 验证 W_1 的分布
_, W_many = simulate_brownian(T=1.0, n_steps=500, n_paths=10000)
W_1 = W_many[:, -1]
print(f"理论值: E[W_1] = 0, Var[W_1] = 1")
print(f"模拟值: E[W_1] = {W_1.mean():.4f}, Var[W_1] = {W_1.var():.4f}")

几何布朗运动（GBM）模拟

def simulate_gbm(S0=100, mu=0.05, sigma=0.2, T=1.0, n_steps=252):
    """
    模拟几何布朗运动（资产价格路径）
    Parameters:
        S0: 初始价格
        mu: 漂移率（年化预期收益率）
        sigma: 波动率（年化）
        T: 总时间（年）
        n_steps: 时间步数（252 ≈ 一年交易日数）
    """
    dt = T / n_steps
    t = np.linspace(0, T, n_steps + 1)
    dW = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=n_steps)
    W = np.cumsum(dW)
    S = S0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma**2) * t + sigma * np.insert(W, 0, 0))
    return t, S

t_gbm, S_gbm = simulate_gbm()
print(f"GBM 最终价格: S_T = {S_gbm[-1]:.2f}")

---

Quant Link：几何布朗运动（GBM） 是 Black-Scholes 模型的基础假设：

$$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$

其中 $\mu$ 是漂移率（预期收益率），$\sigma$ 是波动率。Itô 公式给出解为：

$$S_T = S_0 \exp\left((\mu - \frac{\sigma^2}{2})T + \sigma W_T\right)$$

即 $S_T$ 服从对数正态分布。在风险中性世界，$\mu$ 被替换为无风险利率 $r$，这正是期权定价中风险中性世界的关键假设。

---

下一步：6.4 鞅