6.2 随机游走

随机游走是最经典的离散时间随机过程，也是理解更复杂连续时间过程（布朗运动）的起点。

定义

最经典的离散时间随机过程：设 $\{\varepsilon_t\}_{t=1}^\infty$ 为 i.i.d. 随机变量，$P(\varepsilon_t = +1) = P(\varepsilon_t = -1) = 0.5$。定义：

$$S_n = \sum_{t=1}^n \varepsilon_t, \quad S_0 = 0$$

性质：

• $\mathbb{E}[S_n] = 0$（公平游戏）
• $\text{Var}(S_n) = n$
• $\mathbb{E}[S_n^2] = n$（均方位移）

手算实例：3 步后的位置分布

抛硬币 3 次，正面 $+1$，反面 $-1$。$S_3$ 的可能取值及概率。

所有 $2^3 = 8$ 条等概率路径：

序列	$S_1$	$S_2$	$S_3$
HHH	1	2	3
HHT	1	2	1
HTH	1	0	1
HTT	1	0	-1
THH	-1	0	1
THT	-1	0	-1
TTH	-1	-2	-1
TTT	-1	-2	-3

$S_3$ 的概率分布：

位置 $k$	路径数	概率 $P(S_3 = k)$	组合数公式
$3$	1 (HHH)	$1/8$	$\binom{3}{3}/8$
$1$	3 (HHT, HTH, THH)	$3/8$	$\binom{3}{2}/8$
$-1$	3 (HTT, THT, TTH)	$3/8$	$\binom{3}{1}/8$
$-3$	1 (TTT)	$1/8$	$\binom{3}{0}/8$

通式：$n$ 步后位置为 $k$ 的条件是 $n + k$ 为偶数且 $-n \le k \le n$：

$$P(S_n = k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} \cdot \frac{1}{2^n}$$

期望位置：

$$\mathbb{E}[S_3] = 3 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + (-1) \cdot \frac{3}{8} + (-3) \cdot \frac{1}{8} = 0$$

验证了 $\mathbb{E}[S_n] = 0$。一般地，$\mathbb{E}[S_n] = n \cdot \mathbb{E}[\varepsilon_1] = n \cdot 0 = 0$。

方差验证

$$\begin{aligned} \text{Var}(S_3) &= \mathbb{E}[S_3^2] - (\mathbb{E}[S_3])^2 \\ &= \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 9}{8} - 0 \\ &= \frac{24}{8} = 3 = n \end{aligned}$$

一维随机游走的性质

性质	表达式	含义
期望	$\mathbb{E}[S_n] = 0$	长期无偏向
方差	$\text{Var}(S_n) = n$	不确定性随时间线性增加
均方位移	$\mathbb{E}[S_n^2] = n$	典型位移约 $\sqrt{n}$
鞅性	$\mathbb{E}[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = S_n$	公平游戏的鞅性质

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Quant Link：随机游走是**有效市场假说（EMH）**的数学基础——如果价格已反映所有公开信息，那么价格变化 $\Delta P_t$ 应是不相关的随机游走：

$$P_t = P_{t-1} + \varepsilon_t, \quad \mathbb{E}[\varepsilon_t \mid \mathcal{F}_{t-1}] = 0$$

这意味着无法基于历史价格预测未来走势。但实证发现收益率存在动量效应（短期趋势延续）和均值回归（长期反转），与纯随机游走不完全一致。对这些异常的研究催生了量化策略的核心分支——因子投资和统计套利。

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