8.1 傅里叶级数

傅里叶级数将周期函数分解为三角函数的无穷级数——它是理解金融时间序列中周期性模式的数学基础。

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定义

任何一个周期为 $T$ 的周期函数 $f(t)$ 都可以分解为三角函数的无穷级数：

$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \right]$$

其中系数由以下公式给出：

$$a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt,\quad b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt$$

• $n=1$ 称为基波（fundamental），频率 $f_0 = 1/T$
• $n=2,3,\dots$ 称为谐波（harmonics），频率为 $n \cdot f_0$

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手算实例：方波的傅里叶系数

考虑一个周期为 $T=2\pi$ 的方波 $f(t)$：

$$f(t) = \begin{cases} +1, & 0 < t < \pi \\ -1, & \pi < t < 2\pi \end{cases}$$

方波是奇函数，因此所有 $a_n = 0$。只需计算 $b_n$：

$$b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin(nt) dt = \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^\pi (+1) \sin(nt) dt + \int_\pi^{2\pi} (-1) \sin(nt) dt \right]$$

分步手算（以 $n=1$ 为例）

步骤	计算	结果
积分 1	$\int_0^\pi \sin(t) dt = [-\cos(t)]_0^\pi = [-(-1)] - [-1] = 1 + 1 = 2$	$2$
积分 2	$\int_\pi^{2\pi} (-\sin(t)) dt = -[-\cos(t)]_\pi^{2\pi} = [\cos(t)]_\pi^{2\pi} = 1 - (-1) = 2$	$2$
求和	$2 + 2 = 4$	$4$
系数	$b_1 = \frac{1}{\pi} \times 4 = \frac{4}{\pi}$	$\frac{4}{\pi} \approx 1.2732$

通用公式与系数表

对于方波，$b_n = \frac{4}{n\pi}$ 对奇数 $n$，$b_n = 0$ 对偶数 $n$。

谐波阶数 $n$	$b_n = \frac{4}{n\pi}$	近似值
基波 $n=1$	$4/\pi$	$1.2732$
3 次谐波 $n=3$	$4/(3\pi)$	$0.4244$
5 次谐波 $n=5$	$4/(5\pi)$	$0.2546$
7 次谐波 $n=7$	$4/(7\pi)$	$0.1819$

方波的 $N=1$ 近似（仅基波）：

$$f(t) \approx \frac{4}{\pi} \sin(t)$$

$N=3$ 近似（基波 + 3 次 + 5 次谐波）：

$$f(t) \approx \frac{4}{\pi} \sin(t) + \frac{4}{3\pi} \sin(3t) + \frac{4}{5\pi} \sin(5t)$$

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Quant Link：金融数据中的周期性模式

金融时间序列中的周期性信号（如季节性波动率模式）可以类似地分解为频率分量。

方波近似中，Gibbs 现象（在跳变处有过冲）对应了市场中异常事件（如财报发布）附近的过度反应——当市场对重大消息做出剧烈反应时，价格的跳变处会出现类似 Gibbs 现象的"过冲-回调"模式。

实际应用中，交易量、波动率和价差等序列通常表现出日频周内模式（如周一交易量高、周五仓位平仓）和年度季节性——这些都可通过傅里叶级数建模。 \n> 下一步：继续学习 8.2 傅里叶变换