8.2 傅里叶变换

傅里叶变换将非周期函数从时域变换到频域——它是现代信号分析的核心工具，在量化金融中用于频谱分析和波动率建模。

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定义

傅里叶变换将非周期函数 $f(t)$ 从时域变换到频域：

关于复数：$i = \\sqrt{-1}$ 是虚数单位。欧拉公式 $e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$ 将指数函数与三角函数联系起来。傅里叶变换中的 $e^{-i\\omega t}$ 代表频率为 $\\omega$ 的旋转，$|F(\\omega)|$ 是幅度谱（各频率的强度），$\\angle F(\\omega)$ 是相位谱（各频率的起始角度）。

$$F(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(t) e^{-i\\omega t} dt$$

逆变换：

$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$$

• $F(\omega)$ 是复数，表示频率 $\omega$ 处的幅度和相位
• $|F(\omega)|$ 称为幅度谱（amplitude spectrum）
• $\angle F(\omega)$ 称为相位谱（phase spectrum）

与傅里叶级数的关系

特性	傅里叶级数	傅里叶变换
适用范围	周期函数	非周期函数（周期函数可视为特例）
频率	离散频率 $n \cdot f_0$	连续频率 $\omega$
输出	系数序列 $a_n, b_n$	连续函数 $F(\omega)$

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手算实例：高斯函数的傅里叶变换

令 $f(t) = e^{-t^2}$（标准高斯函数）：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} e^{-i\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t^2 + i\omega t)} dt$$

配方法：$t^2 + i\omega t = \left(t + \frac{i\omega}{2}\right)^2 + \frac{\omega^2}{4}$

$$F(\omega) = e^{-\omega^2/4} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t + \frac{i\omega}{2})^2} dt$$

利用高斯积分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}$：

$$F(\omega) = \sqrt{\pi} \cdot e^{-\omega^2/4}$$

$\omega$	$F(\omega) = \sqrt{\pi} \cdot e^{-\omega^2/4}$
$0$	$\sqrt{\pi} \approx 1.7725$
$1$	$\sqrt{\pi} \cdot e^{-0.25} \approx 1.3807$
$2$	$\sqrt{\pi} \cdot e^{-1} \approx 0.6520$
$3$	$\sqrt{\pi} \cdot e^{-2.25} \approx 0.1880$

高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数——这说明高斯函数在时域和频域中都是"最集中"的，恰好对应了海森堡不确定性原理的下界。

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重要性质

性质	时域	频域
线性	$\alpha f + \beta g$	$\alpha F + \beta G$
时移	$f(t - t_0)$	$e^{-i\omega t_0} F(\omega)$
频移	$e^{i\omega_0 t} f(t)$	$F(\omega - \omega_0)$
卷积 $f * g$（两个函数的加权滑动叠加——见下方定义）	$F \cdot G$
缩放	$f(at)$	$\frac{1}{

卷积的定义

两个函数 $f$ 和 $g$ 的卷积 $f * g$ 定义为：

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$$

直观理解：卷积就是把一个函数"翻转并平移"后与另一个函数逐点相乘再积分。可以想象为用一个"窗口"在信号上滑动，在每个位置计算窗口与信号的加权平均。

为什么卷积重要：在量化金融中，移动平均线（SMA）本质上就是一个卷积——用矩形窗口与价格序列做卷积。卷积定理说：时域中的卷积等价于频域中的乘法。这意味着在时域做平滑（卷积），相当于在频域中"过滤掉高频噪音"。

卷积定理是量化金融中最重要的性质之一：时域中的卷积运算对应频域中的乘法，大大简化了滤波器的设计。

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Quant Link：波动率建模中的频谱分析

在波动率建模中，不同时间尺度的波动率（如日频 vs 月频）的关系可以通过傅里叶分析描述。均方根波动率 $\sigma_{\text{RMS}}$ 是所有频率分量的积分：

$$\sigma_{\text{RMS}}^2 = \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega$$

这表明波动率可以看作不同频率周期成分的叠加——高频成分对应日内噪音，低频成分对应长期趋势。

实际应用：高频交易者通过分析价格序列的傅里叶变换，区分出信号（低频趋势部分）和噪音（高频抖动部分），从而设计更稳健的交易策略。 \n> 下一步：继续学习 8.3 频谱分析