5.4 组合优化与风险预算

Markowitz 的均值-方差模型开创了现代组合理论的先河。在此基础上，风险预算将风险管理从"控制总风险"推进到"主动分配风险"——这已成为机构投资组合管理的标准实践。

---

一、Markowitz 均值-方差模型

1.1 数学模型

给定 $n$ 种资产，期望收益率向量 $\boldsymbol{\mu}$，协方差矩阵 $\Sigma$，Markowitz 模型求解：

$$\min_{\mathbf{w}} \; \frac{1}{2} \mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w} - \gamma \boldsymbol{\mu}^\top \mathbf{w} \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{w}^\top \mathbf{1} = 1$$

其中：

• $\mathbf{w}$ — 资产权重向量
• $\gamma$ — 风险厌恶系数（越大越厌恶风险）
• $\frac{1}{2} \mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}$ — 组合方差（风险项）
• $\boldsymbol{\mu}^\top \mathbf{w}$ — 组合预期收益

这是一个二次规划（QP）问题——目标函数是二次的，约束是线性的。

1.2 解析解

利用拉格朗日乘数法可得解析解：

设拉格朗日函数 $\mathcal{L} = \frac{1}{2} \mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w} - \gamma \boldsymbol{\mu}^\top \mathbf{w} + \lambda (\mathbf{w}^\top \mathbf{1} - 1)$，KKT 条件给出：

$$\Sigma \mathbf{w} - \gamma \boldsymbol{\mu} + \lambda \mathbf{1} = 0, \quad \mathbf{w}^\top \mathbf{1} = 1$$

解得：

$$\mathbf{w}^* = \Sigma^{-1} (\gamma \boldsymbol{\mu} - \lambda \mathbf{1})$$

其中 $\lambda$ 由约束 $\mathbf{w}^\top \mathbf{1} = 1$ 确定。实际中通常代入约束条件数值求解，而非显式计算。

1.3 有效前沿（Efficient Frontier）

对每个 $\gamma$ 求解，得到一系列最优组合。将这些组合的（风险，收益）点绘成曲线，即有效前沿：

• 有效前沿上的组合在给定风险下收益最大，或在给定收益下风险最小
• 有效前沿以下的组合是次优的——你可以通过调整权重获得更好的风险-收益平衡
• 无风险利率与有效前沿的切点即为切线组合（Tangency Portfolio）

---

二、风险预算

2.1 从方差到风险贡献

传统 Markowitz 模型使用组合方差 $\sigma_p^2$ 作为风险度量。风险预算（Risk Budgeting）更进一步，将总风险 $\sigma_p = \sqrt{\mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}}$ 分解到各资产。

边际风险贡献（Marginal Risk Contribution, MRC）：

$$\frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i} = \frac{(\Sigma \mathbf{w})_i}{\sigma_p}$$

衡量权重 $w_i$ 增加一单位对总风险的边际影响。

风险贡献（Risk Contribution, RC）：

$$\text{RC}_i = w_i \times \frac{(\Sigma \mathbf{w})_i}{\sigma_p}$$

RC 满足可加性：$\sum_i \text{RC}_i = \sigma_p$。

2.2 风险均摊（Risk Parity）

等风险贡献（Equal Risk Contribution, ERC）是风险预算的特例，要求：

$$\text{RC}_i = \frac{1}{n} \sigma_p, \quad \forall i$$

即每只资产承担相等的风险。这等价于：

$$w_i \cdot \frac{(\Sigma \mathbf{w})_i}{\sigma_p} = \frac{1}{n} \sigma_p \quad \Longrightarrow \quad w_i (\Sigma \mathbf{w})_i = \frac{1}{n} \mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}$$

2.3 一般风险预算

更一般地，给定风险预算比例 $b_i$（满足 $\sum b_i = 1$）：

$$\text{RC}_i = b_i \cdot \sigma_p$$

目标：找到 $\mathbf{w}$ 使得各资产的风险贡献等于预设比例。这是一个非线性方程组，常用牛顿法求解（详见 5.3 节）。

---

三、手算实例：两资产有效前沿

3.1 问题

两资产 A 和 B：

• $\mu_A = 12\%$, $\mu_B = 8\%$
• $\sigma_A = 20\%$, $\sigma_B = 15\%$
• 相关系数 $\rho_{AB} = 0.3$
• 协方差 $\sigma_{AB} = 0.2 \times 0.15 \times 0.3 = 0.009$

3.2 不同权重的风险-收益

$w_A$	$w_B$	$\mu_p$	$\sigma_p^2$	$\sigma_p$
0.0	1.0	8.0%	0.0225	15.0%
0.2	0.8	8.8%	0.0181	13.5%
0.4	0.6	9.6%	0.0166	12.9%
0.5	0.5	10.0%	0.0169	13.0%
0.6	0.4	10.4%	0.0180	13.4%
0.8	0.2	11.2%	0.0228	15.1%
1.0	0.0	12.0%	0.0400	20.0%

最小方差组合（Minimum Variance Portfolio, MVP）在 $w_A \approx 0.35, w_B \approx 0.65$ 附近，组合波动率约 12.8%。

有趣的是，等权组合（$w_A = w_B = 0.5$）的波动率（13.0%）低于 A 或 B 单独持有的波动率——这就是分散化的力量。

3.3 风险贡献分解（等权组合）

对于 $w_A = w_B = 0.5$：

$$(\Sigma \mathbf{w})_A = w_A \sigma_A^2 + w_B \sigma_{AB} = 0.5 \times 0.04 + 0.5 \times 0.009 = 0.0245$$

$$(\Sigma \mathbf{w})_B = w_A \sigma_{AB} + w_B \sigma_B^2 = 0.5 \times 0.009 + 0.5 \times 0.0225 = 0.01575$$

$$\sigma_p = \sqrt{0.0169} = 0.130$$

$$\text{RC}_A = 0.5 \times \frac{0.0245}{0.130} = 0.0942, \quad \text{RC}_B = 0.5 \times \frac{0.01575}{0.130} = 0.0606$$

总风险 $\sigma_p = 0.130$，其中 A 贡献了 0.094（72%），B 贡献了 0.061（28%）——等权并不等于等风险。

---

四、实际约束

4.1 做空限制（No Short）

$$\mathbf{w} \ge 0$$

最简单的实际约束。KKT 条件中的互补松弛机制确保：当某资产的最优权重为负时，解会被推到边界 $w_i = 0$。

4.2 集中度限制

w_i \le 0.1 \quad \text{（单资产上限 10%）}

防止组合过度集中于某只资产。

4.3 行业约束

\sum_{i \in \text{行业}_k} w_i \le 0.3 \quad \text{（行业上限 30%）}

确保行业分散。

4.4 基数约束（Cardinality）

$$\sum_i \mathbb{I}(w_i > 0) \le K$$

限制持仓资产数量不超过 $K$ 只。这是一个整数约束，使问题变为混合整数二次规划（MIQP），求解难度大增。

---

Quant Link：现代组合优化在实践中通常包含数十到数百个约束条件，使用专用 QP 求解器（如 cvxpy、Gurobi、Mosek）处理。风险预算在桥水基金（Ray Dalio 的 All Weather 策略）等机构中广泛应用，它不依赖收益率预测（收益率很难预测准确），而是通过主动分配风险来实现真正的分散化。