1.3 积分学

积分是导数的逆运算，也是计算面积、期望、累积量的核心工具。

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一、不定积分

1.1 原函数的概念

若 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

因为常数 $C$ 的导数为 0，所以 $F(x) + C$ 也是 $f(x)$ 的原函数。所有原函数的集合称为不定积分：

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

其中 $C$ 是积分常数。

例：因为 $\dfrac{d}{dx}(x^2) = 2x$，所以 $\displaystyle\int 2x \, dx = x^2 + C$

1.2 基本积分公式

所有积分公式都可以通过求导验证——对右边求导，应该得到被积函数。

求导公式（已知 ✅）	积分公式（逆运算）
$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$	$\displaystyle\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\;(n \neq -1)$
$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$	$\displaystyle\int \frac{1}{x} , dx = \ln
$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$	$\displaystyle\int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$	$\displaystyle\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$	$\displaystyle\int e^x \, dx = e^x + C$
$\frac{d}{dx}\left(\frac{a^x}{\ln a}\right) = a^x$	$\displaystyle\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

例：求 $\displaystyle\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$

逐项积分：

$$\int 3x^2 \, dx = x^3,\quad \int 2x \, dx = x^2,\quad \int (-5) \, dx = -5x$$

所以：$\displaystyle\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx = x^3 + x^2 - 5x + C$

验证：$(x^3 + x^2 - 5x)' = 3x^2 + 2x - 5$ ✅

1.3 线性性质

$$\int (c f(x) + d g(x)) \, dx = c \int f(x) \, dx + d \int g(x) \, dx$$

常数倍可以提出来，和可以拆开分别积。

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二、定积分

2.1 几何意义

定积分 $\displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$ 的几何意义是：曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴之间从 $x=a$ 到 $x=b$ 的面积。

上方面积为正，下方面积为负。

2.2 黎曼和定义

将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小块，每块宽度 $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$，在每个小块内取一个样本点 $x_i^*$，则面积的近似值为：

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$$

当分割越来越细（$n \to \infty$），近似值趋近精确值，这就是定积分：

$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$$

2.3 微积分基本定理

这个定理连接了导数和积分——微分和积分是互逆运算。

第一部分（原函数存在定理）：

$$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)$$

对一个定积分的上限求导，得到原函数本身。

第二部分（牛顿-莱布尼茨公式）：

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

其中 $F$ 是 $f$ 的任意一个原函数。

这就是积分计算的核心方法：找到原函数 $F$，然后用 $F(b) - F(a)$。

例：求 $\displaystyle\int_1^3 x^2 \, dx$

原函数 $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$，则：

$$\int_1^3 x^2 \, dx = F(3) - F(1) = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

验证几何意义：这个结果就是在 $x=1$ 到 $x=3$ 之间 $y = x^2$ 下面的面积。

2.4 定积分的性质

性质	公式
线性	$\displaystyle\int_a^b (cf + dg) = c\int_a^b f + d\int_a^b g$
区间可加	$\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
反向区间	$\displaystyle\int_a^b f = -\int_b^a f$
保序性	若 $f(x) \le g(x)$，则 $\displaystyle\int_a^b f \le \int_a^b g$

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三、换元积分法

3.1 不定积分的换元

对应链式法则的逆运算。

设 $u = g(x)$，$du = g'(x) dx$，则：

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$

例 1：求 $\displaystyle\int 2x \cos(x^2) \, dx$

令 $u = x^2$，$du = 2x \, dx$：

$$\int 2x \cos(x^2) \, dx = \int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$$

验证：$\dfrac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x$ ✅

例 2：求 $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$

令 $u = x^2 + 1$，$du = 2x \, dx$：

$$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|x^2 + 1| + C$$

3.2 定积分的换元

换元时要同时改变上下限：

$$\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$$

例：求 $\displaystyle\int_0^1 2x e^{x^2} \, dx$

令 $u = x^2$，则当 $x = 0$ 时 $u = 0$，当 $x = 1$ 时 $u = 1$，$du = 2x \, dx$：

$$\int_0^1 2x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \, du = e - 1$$

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四、分部积分法

4.1 公式来源

由乘积法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分可得：

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

4.2 常见模式

例 1（多项式 × 指数）：求 $\displaystyle\int x e^x \, dx$

令 $u = x$，$dv = e^x \, dx$，则 $du = dx$，$v = e^x$：

$$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

例 2（对数）：求 $\displaystyle\int \ln x \, dx$

令 $u = \ln x$，$dv = dx$，则 $du = \dfrac{1}{x} \, dx$，$v = x$：

$$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C$$

例 3（多项式 × 三角函数）：求 $\displaystyle\int x \sin x \, dx$

令 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$：

$$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \sin x + C$$

LIATE 法则

分部积分中，$u$ 的选择优先级：Log（对数）→ Inverse trig（反三角）→ Algebraic（多项式）→ Trigonometric（三角）→ Exponential（指数）。左边优先选作 $u$。

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五、定积分的数值计算

有些函数没有初等原函数（如 $e^{-x^2}$、$\dfrac{\sin x}{x}$），需要用数值方法。

5.1 梯形法则

用梯形近似每个小区间的面积：

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2n} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]$$

5.2 蒙特卡洛积分

随机采样求平均值：

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx (b-a) \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$$

其中 $x_i$ 是 $[a, b]$ 上的均匀随机数。收敛速度比梯形法慢（约 $1/\sqrt{n}$），但适用于高维积分。

量化应用：期权定价的蒙特卡洛模拟——价格是未来收益在风险中性测度下的期望值，本质上就是一个高维积分。

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六、Python 实践

符号积分

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

# 不定积分
f = x**3 + 2*x**2 - 5*x + 1
F = sp.integrate(f, x)
print(f"∫({f}) dx = {F} + C")  # x^4/4 + 2*x^3/3 - 5*x^2/2 + x

# 定积分
val = sp.integrate(x**2, (x, 1, 3))
print(f"∫₁³ x² dx = {val}")  # 26/3

# 换元积分验证
expr = 2*x * sp.cos(x**2)
res = sp.integrate(expr, x)
print(f"∫ 2x·cos(x²) dx = {res}")  # sin(x²)

# 分部积分验证
expr2 = x * sp.exp(x)
res2 = sp.integrate(expr2, x)
print(f"∫ x·eˣ dx = {res2}")  # (x-1)·eˣ

数值积分

import numpy as np

def trapezoidal(f, a, b, n=1000):
    """梯形法则"""
    x = np.linspace(a, b, n)
    y = f(x)
    h = (b - a) / (n - 1)
    return h * (y[0] + 2 * np.sum(y[1:-1]) + y[-1]) / 2

def monte_carlo(f, a, b, n=100000):
    """蒙特卡洛积分"""
    x = np.random.uniform(a, b, n)
    return (b - a) * np.mean(f(x))

# 测试：∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.33333
f = lambda x: x**2
print(f"精确值:       0.33333")
print(f"梯形法:       {trapezoidal(f, 0, 1):.6f}")
print(f"蒙特卡洛:     {monte_carlo(f, 0, 1):.6f}")

# ∫₀¹ e^(-x²) dx——没有初等原函数的积分
g = lambda x: np.exp(-x**2)
print(f"\n∫₀¹ e^(-x²) dx")
print(f"梯形法:       {trapezoidal(g, 0, 1):.6f}")
print(f"蒙特卡洛:     {monte_carlo(g, 0, 1):.6f}")
# 做一次正态分布检查：Φ(1) ≈ 0.8413
# 标准正态 CDF: Φ(z) = 1/2 + 1/√(2π) * ∫₀ᶻ e^(-t²/2) dt

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七、量化 & ML 应用

概念	应用
定积分	概率密度函数 $f(x)$ 的积分 = 累积概率 $P(X \le b)$
期望	$E[X] = \int x \cdot f(x) \, dx$，期望计算就是积分
蒙特卡洛	期权定价（高维积分）、风险价值(VaR)计算
不定积分	偏微分方程的解析解、衍生品定价公式推导
分部积分	概率论中的矩生成函数、协方差计算

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小结

概念	要点
不定积分	原函数 + $C$，导数的逆运算
定积分	面积 = $\int_a^b f(x) dx$
微积分基本定理	$F(b) - F(a)$，连接微分与积分
换元法	链式法则的逆运算
分部积分	乘积法则的逆运算
数值积分	初等原函数不存在时的替代方案

下一步：1.4 多元微积分——从一元到多元，梯度、散度、拉格朗日乘子。