2.3 正定矩阵与二次型

正定矩阵在优化和风险管理中无处不在——它决定了一个函数是凸还是凹、组合方差永远不会为负。

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一、二次型

1.1 从一元到多元

一元二次：$ax^2$（一个平方项）

多元二次（二次型）：把所有平方项和交叉项放在一起，写成矩阵形式。

例：$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$，则二次型 $Q(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}$ 为：

$$Q(\boldsymbol{x}) = [x_1, x_2] \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2$$

注意 $Q(\boldsymbol{x})$ 永远输出一个数字。

1.2 算一个具体值

取 $\boldsymbol{x} = (1, 2)$：

$$Q(1, 2) = 2(1)^2 + 2(1)(2) + 3(2)^2 = 2 + 4 + 12 = 18$$

取 $\boldsymbol{x} = (0, 0)$：

$$Q(0, 0) = 0$$

所以二次型的最小值至少是 0。它能不能是负数？取决于 $A$ 的性质。

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二、正定矩阵

2.1 定义

对称矩阵 $A$ 称为：

• 正定：对所有 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} > 0$
• 半正定：对所有 $\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} \ge 0$
• 负定：对所有 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} < 0$

2.2 判定

最常用的判定方法：所有特征值 > 0（详见 2.4）⇔ 正定。

取上面的 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$：

$$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 1 = \lambda^2 - 5\lambda + 5 = 0$$

$$\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \approx 3.618, 1.382$$

两个特征值都大于 0，所以 $A$ 是正定的。

2.3 为什么重要

在一元函数中，$f''(x) > 0$ 意味着函数是凸的（最小值），$f''(x) < 0$ 是凹的（最大值）。

在多元函数中，海森矩阵 $H$ 的作用就相当于 $f''(x)$：

• $H$ 正定 → 局部最小值 ✅
• $H$ 负定 → 局部最大值
• $H$ 有正有负 → 鞍点

Quant Link：协方差矩阵一定是半正定的，为什么？因为对任何权重向量 $\boldsymbol{w}$，组合方差 $\boldsymbol{w}^T \Sigma \boldsymbol{w} = \text{Var}(\boldsymbol{w}^T R) \ge 0$（方差不可能为负）。这保证了：

1. 你做组合优化时，最小方差组合存在且唯一
2. 如果 $\Sigma$ 不正定（即奇异），说明有资产能被其他资产复制——需要剔除冗余

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三、Cholesky 分解

正定矩阵 $A$ 可以分解为 $A = LL^T$，其中 $L$ 是下三角矩阵。

量化核心应用：生成相关随机数。

你想生成 1000 个服从 $N(\boldsymbol{0}, \Sigma)$ 的样本，怎么做？

1. 对 $\Sigma$ 做 Cholesky 分解：$\Sigma = LL^T$
2. 生成 1000 个独立标准正态向量 $\boldsymbol{z}$
3. 计算 $\boldsymbol{x} = L\boldsymbol{z}$

得到的 $\boldsymbol{x}$ 就具有协方差 $\Sigma$。

手算验证

$\Sigma = \begin{bmatrix} 1 & 0.7 \\ 0.7 & 1 \end{bmatrix}$，Cholesky 分解得 $L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0.7 & \sqrt{1-0.49} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0.7 & 0.714 \end{bmatrix}$

验证：$LL^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0.7 & 0.714 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0.7 \\ 0 & 0.714 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0.7 \\ 0.7 & 1 \end{bmatrix} = \Sigma$ ✅

import numpy as np

Sigma = np.array([[1.0, 0.7], [0.7, 1.0]])
L = np.linalg.cholesky(Sigma)
print(f"L =\n{L}")
print(f"LLᵀ =\n{L @ L.T}")

# 生成相关随机数
np.random.seed(42)
z = np.random.normal(size=(100000, 2))
x = z @ L.T
print(f"样本相关系数: {np.corrcoef(x.T)[0,1]:.4f}")  # ≈ 0.7

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