4.2 假设检验

假设检验是用样本数据对关于总体的某个陈述（假设）做出接受或拒绝的统计决策方法，是量化策略回测中判断信号是否有效的核心工具。

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一、基本概念

1.1 原假设与备择假设

• 原假设 $H_0$：通常代表"无效应"或"默认情况"
• 备择假设 $H_1$：代表研究者希望证明的结论

常见形式：

• 双侧检验：$H_0: \theta = \theta_0$ vs $H_1: \theta \neq \theta_0$
• 右侧检验：$H_0: \theta \le \theta_0$ vs $H_1: \theta > \theta_0$
• 左侧检验：$H_0: \theta \ge \theta_0$ vs $H_1: \theta < \theta_0$

1.2 两类错误

决策 \ 真实状态	$H_0$ 为真	$H_1$ 为真
接受 $H_0$	✅ 正确	❌ 第二类错误 ($\beta$)
拒绝 $H_0$	❌ 第一类错误 ($\alpha$)	✅ 正确（检验功效 $1-\beta$）

• 显著性水平 $\alpha$：犯第一类错误的概率（通常取 0.05）
• 检验功效 $1-\beta$：正确拒绝错误原假设的概率

1.3 p-value

p-value 是在原假设成立下，观察到当前样本结果（或更极端结果）的概率：

$$\text{p-value} < \alpha \quad \Rightarrow \quad \text{拒绝 } H_0$$

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二、t 检验

2.1 单样本 t 检验

检验 $H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu \neq \mu_0$：

$$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$$

2.2 手算示例：基金 Alpha 检验

某量化基金宣称能产生正的月度 alpha。收集 12 个月的超额收益数据（%）：

[1.2, 0.8, -0.3, 1.5, 0.6, 2.0, -0.1, 0.9, 1.1, 0.3, 1.7, 0.4]

检验 $H_0: \mu = 0$ vs $H_1: \mu > 0$（右侧检验，$\alpha = 0.05$）。

第一步：计算样本统计量

月份 $i$	超额收益 $r_i$
1	1.2
2	0.8
3	-0.3
4	1.5
5	0.6
6	2.0
7	-0.1
8	0.9
9	1.1
10	0.3
11	1.7
12	0.4

第二步：计算样本均值和标准差

统计量	计算	结果
$\sum r_i$	$1.2+0.8-0.3+1.5+0.6+2.0-0.1+0.9+1.1+0.3+1.7+0.4$	$10.1$
$\bar{r}$	$10.1 / 12$	$0.8417$
$\sum (r_i - \bar{r})^2$	逐项计算	$5.8189$
$s$	$\sqrt{5.8189 / 11}$	$0.7272$
$SE$	$0.7272 / \sqrt{12}$	$0.2099$

第三步：计算 t 统计量

$$t = \frac{0.8417 - 0}{0.2099} = 4.009$$

第四步：查找临界值

$t_{0.05}(11) = 1.796$（单侧临界值）

第五步：决策

$t = 4.009 > 1.796$，拒绝 $H_0$。

项	值
$t$ 统计量	$4.009$
临界值 $t_{0.05}(11)$	$1.796$
p-value	$P(T_{11} > 4.009) \approx 0.0011$
结论	✅ 拒绝 $H_0$，基金 alpha 显著为正

2.3 双样本 t 检验

比较两个策略的收益是否有显著差异：

$$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$$

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三、其他常见检验方法

检验	用途	检验统计量
z 检验	方差已知，大样本均值检验	$z = (\bar{X}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n})$
双样本 t 检验	两独立样本均值比较	见上
配对 t 检验	同一对象前后对比	$t = \bar{d}/(s_d/\sqrt{n})$
卡方检验	分类变量的独立性	$\chi^2 = \sum(O-E)^2/E$
F 检验	方差齐性检验	$F = s_1^2/s_2^2$

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Quant Link：因子显著性检验

在量化研究中最经典的假设检验应用——因子是否有效：

1. Fama-French 三因子模型：对于每个因子（市场、规模、价值），检验其风险溢价是否显著非零
2. IC（信息系数）检验：$H_0: \rho = 0$，检验因子与未来收益的相关性是否显著
3. 多空组合收益检验：检验做多 top 分位数、做空 bottom 分位数的收益是否显著 > 0
4. 策略回测：对夏普比率做 t 检验，判断策略收益是否显著优于基准

实操要点：

• 多重比较问题：同时测试上百个因子时，需用 Bonferroni 校正（调整 $\alpha$）
• 数据窥探偏差：反复使用同一数据检验假设会导致过拟合
• 经济显著性 vs 统计显著性：p < 0.05 不意味策略能赚钱，还需考虑交易成本、滑点

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Python 验证

import numpy as np
from scipy import stats

# 基金 alpha 单样本 t 检验
alpha = np.array([1.2, 0.8, -0.3, 1.5, 0.6, 2.0, -0.1, 0.9, 1.1, 0.3, 1.7, 0.4])
t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(alpha, 0, alternative='greater')
print(f"t 统计量 = {t_stat:.4f}")
print(f"p-value  = {p_value:.4f}")
print(f"结论: {'alpha 显著 > 0' if p_value < 0.05 else '不显著'}")

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小结

概念	含义	量化应用
$H_0$	无效应假设	因子无预测力、策略无 alpha
$\alpha$	显著性水平（Type I 错误）	误判假因子为真
$\beta$	Type II 错误	漏掉真因子
p-value	观察到极端结果的概率	因子筛选的量化指标
检验功效	发现真效应的概率	回测长度设计

下一步：继续学习 4.3 方差分析(ANOVA)——比较多个策略的均值差异。