9.2 根求解

量化金融中大量问题归结为求解方程——从隐含波动率到内部收益率（IRR），再到债券到期收益率。根求解算法是每个量化分析师的必备工具。

二分法（Bisection Method）

算法

对于连续函数 $f(x)$ ，若 $f(a) \cdot f(b) < 0$ ，则 $(a,b)$ 内必有根：

计算中点 $c = (a + b) / 2$
若 $f(a) \cdot f(c) < 0$ ，则根在 $(a,c)$ ，否则在 $(c,b)$
重复直到区间长度小于容差

收敛速度：线性，每次迭代区间减半
优点：保证收敛（只要初始区间有根）
缺点：收敛较慢

牛顿法（Newton's Method）

算法

对于方程 $f(x) = 0$ ，牛顿迭代公式：

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

收敛速度：二次收敛——每次迭代有效位数大致翻倍（当初始值足够好时）
优点：收敛极快
缺点：需要导函数；初始值不当可能发散

手算实例：用牛顿法求 $\sqrt{2}$

等价于求解 $f(x) = x^2 - 2 = 0$ ， $f'(x) = 2x$ 。

迭代公式：

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n + 2/x_n}{2}

从 $x_0 = 1.5$ 开始：

迭代 $n$	$x_n$	$f(x_n) = x_n^2 - 2$	$f'(x_n) = 2x_n$	步长 $-f/f'$	$x_{n+1}$
0	1.500000	$2.25 - 2 = 0.2500$	$3.0$	$-0.2500/3.0 = -0.08333$	1.416667
1	1.416667	$2.006944 - 2 = 0.006944$	$2.8333$	$-0.006944/2.8333 = -0.00245$	1.414216
2	1.414216	$2.000006 - 2 = 0.000006$	$2.8284$	$-0.000006/2.8284 \approx -0.000002$	1.414214
3	1.414214	$\approx 0$	—	$0$	1.414214

收敛速度：从 1.5 到 1.416667（误差 $2 \times 10^{-3}$ ），再到 1.414214（误差 $< 10^{-6}$ ）——仅 3 次迭代就达到 6 位有效数字。

Python 示例

python

import numpy as np

def sqrt_newton(x0=1.5, iters=4):
    x = x0
    print(f"n=0: x = {x:.10f}")
    for i in range(iters):
        x = (x + 2.0 / x) / 2.0
        print(f"n={i+1}: x = {x:.10f}, 误差 = {abs(x - np.sqrt(2)):.2e}")
    return x

sqrt_newton()
# --- 输出 ---
# n=0: x = 1.5000000000
# n=1: x = 1.4166666667, 误差 = 2.45e-03
# n=2: x = 1.4142156863, 误差 = 2.12e-06
# n=3: x = 1.4142135624, 误差 = 1.59e-12

Quant Link：隐含波动率与 IRR 计算

隐含波动率（Implied Volatility）

牛顿法用于计算隐含波动率（IV）——求解 $C_{\text{BS}}(\sigma) - C_{\text{market}} = 0$ ，其中 $C_{\text{BS}}$ 是 Black-Scholes 的期权理论价格。 $\sigma$ 的导数（vega）有解析公式，使得牛顿法高效精确。

python

from scipy.stats import norm

def bs_vega(S, K, r, sigma, T):
    """Black-Scholes vega (∂C/∂σ)"""
    d1 = (np.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    return S * norm.pdf(d1) * np.sqrt(T)

def implied_vol(S, K, r, T, market_price, sigma_guess=0.3, tol=1e-8):
    """用牛顿法求解隐含波动率"""
    sigma = sigma_guess
    for i in range(100):
        price = bs_call_price(S, K, r, sigma, T)
        diff = price - market_price
        if abs(diff) < tol:
            return sigma
        vega = bs_vega(S, K, r, sigma, T)
        sigma = sigma - diff / vega
    raise ValueError("未收敛")

IRR 计算

内部收益率（IRR）是使净现值为零的折现率：

\text{NPV}(r) = \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1+r)^t} = 0

牛顿法在此同样适用，导数为：

\text{NPV}'(r) = -\sum_{t=0}^{T} \frac{t \cdot CF_t}{(1+r)^{t+1}}

实际考虑：IRR 可能存在多解或无解的情况。实践中常先用二分法粗搜，再用牛顿法精化，结合改期的牛顿法（Modified Newton's Method）提高稳健性。 \n> 下一步：继续学习 9.3 数值积分

9.2 根求解 ​

二分法（Bisection Method） ​

算法 ​

牛顿法（Newton's Method） ​

算法 ​

手算实例：用牛顿法求 2\sqrt{2}2​ ​

Python 示例 ​

Quant Link：隐含波动率与 IRR 计算 ​

隐含波动率（Implied Volatility） ​

IRR 计算 ​