3.3 期望、方差与条件期望

期望是随机变量的"中心"，方差衡量离散程度，条件期望是信息更新后的最优预测。

---

一、数学期望

1.1 离散型随机变量的期望

$$\mathbb{E}[X] = \sum_{i} x_i \, p(x_i)$$

算一个：掷一颗公平六面骰子，求点数的期望。

点数 $x_i$	1	2	3	4	5	6
$p(x_i)$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$
$x_i p(x_i)$	$1/6$	$2/6$	$3/6$	$4/6$	$5/6$	$6/6$

$$\mathbb{E}[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$$

1.2 连续型随机变量的期望

$$\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \, f(x)\, dx$$

例：$X \sim \text{Uniform}(a,b)$，$f(x) = 1/(b-a)$：

$$\mathbb{E}[X] = \int_a^b \frac{x}{b-a}\,dx = \frac{a+b}{2}$$

1.3 期望的线性性质

$$\mathbb{E}[aX + bY] = a\,\mathbb{E}[X] + b\,\mathbb{E}[Y]$$

---

二、方差

2.1 定义

$$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$$

标准差：$\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}$

算一个：掷一颗公平六面骰子，求方差。

先算 $\mathbb{E}[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.167$

项	值
$\mathbb{E}[X]$	$3.5$
$\mathbb{E}[X^2]$	$91/6 \approx 15.167$
$(\mathbb{E}[X])^2$	$12.25$
$\text{Var}(X)$	$15.167 - 12.25 = 2.917$
$\sigma_X$	$\sqrt{2.917} \approx 1.708$

2.2 方差的性质

$$\text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X)$$

---

三、协方差与相关系数

3.1 协方差

衡量两个随机变量共同变动的方向和强度：

$$\text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(Y - \mathbb{E}[Y])] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$$

性质：

• $\text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X)$
• $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$

3.2 相关系数

$$\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y},\quad -1 \le \rho_{X,Y} \le 1$$

$\rho$ 取值	含义
$+1$	完全正相关
$0$	不相关
$-1$	完全负相关

---

四、条件期望

4.1 定义

给定 $Y = y$ 时 $X$ 的条件期望：

$$\mathbb{E}[X \mid Y = y] = \sum_i x_i \, p(x_i \mid y)$$

4.2 重期望律（塔性质）

$$\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X \mid Y]]$$

即无条件期望 = 条件期望的期望。

算一个：两阶段试验。第一阶段掷一颗骰子（点数 $Y$），第二阶段抛 $Y$ 次硬币，设 $X$ 为正面向上的次数。求 $\mathbb{E}[X]$。

$Y$	$\mathbb{E}[X \mid Y] = Y \times 0.5$	$P(Y)$
1	0.5	$1/6$
2	1.0	$1/6$
3	1.5	$1/6$
4	2.0	$1/6$
5	2.5	$1/6$
6	3.0	$1/6$

$$\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X \mid Y]] = \frac{0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0 + 2.5 + 3.0}{6} = \frac{10.5}{6} = 1.75$$

验证：直接用总期望 $n = \mathbb{E}[Y] = 3.5$，抛硬币期望 $\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[Y] \times 0.5 = 1.75$ ✅

Quant Link：波动率估计 金融资产的波动率 $\sigma$ 就是对数收益率 $r_t = \log(S_t/S_{t-1})$ 的标准差：

$$\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^T (r_t - \bar{r})^2}$$

条件方差模型（如 GARCH）建模的是 $\text{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1})$，即基于过去信息对当前波动率的预测——这正是条件期望/方差思想在量化金融中的直接应用。

---

Python 验证

import numpy as np

# 骰子期望与方差
probs = np.ones(6) / 6
values = np.arange(1, 7)
E_X = values @ probs
E_X2 = (values ** 2) @ probs
Var_X = E_X2 - E_X**2

print(f"E[X]   = {E_X:.4f}")
print(f"Var(X) = {Var_X:.4f}")
print(f"std(X) = {np.sqrt(Var_X):.4f}")

# 两阶段试验（塔性质验证）
np.random.seed(42)
N = 100000
Y = np.random.randint(1, 7, size=N)
X = np.random.binomial(Y, 0.5)
print(f"蒙特卡洛 E[X] = {X.mean():.4f}（理论值 1.75）")

---

小结

概念	公式	金融含义
期望 $\mathbb{E}[X]$	概率加权平均	预期收益
方差 $\text{Var}(X)$	二阶中心矩	风险度量
协方差 $\text{Cov}(X,Y)$	联合变动	资产组合分散化
条件期望 $\mathbb{E}[X|Y]$	基于信息的预测	GARCH、卡尔曼滤波

下一步：继续学习 3.4 贝叶斯定理与不等式——概率更新和尾部风险度量。