6.1 随机过程基本概念

随机过程是量化金融的灵魂——资产价格、利率、波动率在时间维度上的不确定性，全部由随机过程建模。

定义

随机过程是一族随机变量 $\{X_t\}_{t \in \mathcal{T}}$，其中 $t$ 是时间参数。对于每个固定的 $t$，$X_t$ 是一个随机变量；对于每个固定的 $\omega$（样本点），$t \mapsto X_t(\omega)$ 是一条样本路径——即一次具体试验中观测到的时间序列。

直观理解：把随机过程想象成一条随时间的"颤抖的曲线"。每次"投骰子"决定这条曲线的形状，投一次骰子得到一条样本路径（一条具体的曲线）。$\omega$ 代表"哪次投骰子"——固定 $\omega$ 就固定了一条具体的路径。

可测性（Measurability）

可测是一个技术性概念，其直观含义是：我们能判断某个事件是否发生。

具体来说，给定一个 $\sigma$-代数 $\mathcal{F}$（所有"可判断"事件的集合），称随机变量 $X$ 是 $\mathcal{F}$-可测的，如果对于任意实数 $a$，事件 $\{X \le a\}$ 都属于 $\mathcal{F}$（即我们能判断"$X$ 是否不超过 $a$"）。

在金融中，$X$ 是 $\mathcal{F}_t$-可测 = $X$ 的值在时间 $t$ 是已知的（基于截至 $t$ 的信息就能确定）。

类型

类型	时间参数	状态空间	示例
离散时间、离散状态	$t = 0, 1, 2, \dots$	可数集	随机游走
离散时间、连续状态	$t = 0, 1, 2, \dots$	$\mathbb{R}$	AR(1) 时间序列
连续时间、连续状态	$t \in [0, \infty)$	$\mathbb{R}$	布朗运动

过滤（Filtration）

过滤 $\{\mathcal{F}_t\}_{t \ge 0}$ 是 $\sigma$-代数的递增序列，表示截至时间 $t$ 的所有已知信息：

$$\mathcal{F}_s \subseteq \mathcal{F}_t \quad \text{对 } \forall s \le t$$

• $\mathcal{F}_t$ 包含所有到时间 $t$ 为止的事件
• 称随机过程 $X_t$ 是 $\mathcal{F}_t$适应的，若 $X_t$ 对每个 $t$ 都是 $\mathcal{F}_t$-可测的（即 $t$ 时刻的值由当时已知信息决定）

手算实例：简单随机过程的期望

考虑一个离散时间随机过程 $X_t = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \dots + \varepsilon_t$，其中 $\{\varepsilon_t\}$ 是 i.i.d. 随机变量，$P(\varepsilon_t = +1) = P(\varepsilon_t = -1) = 0.5$。

计算 $\mathbb{E}[X_3]$：

路径	$\varepsilon_1$	$\varepsilon_2$	$\varepsilon_3$	$X_3$
1	$+1$	$+1$	$+1$	$3$
2	$+1$	$+1$	$-1$	$1$
3	$+1$	$-1$	$+1$	$1$
4	$+1$	$-1$	$-1$	$-1$
5	$-1$	$+1$	$+1$	$1$
6	$-1$	$+1$	$-1$	$-1$
7	$-1$	$-1$	$+1$	$-1$
8	$-1$	$-1$	$-1$	$-3$

每条路径概率为 $1/8$，因此：

$$\mathbb{E}[X_3] = \frac{3 + 1 + 1 + (-1) + 1 + (-1) + (-1) + (-3)}{8} = 0$$

由于 $\mathbb{E}[\varepsilon_t] = 0$，由线性性可得一般结果 $\mathbb{E}[X_t] = 0$。

随机过程的数字特征

特征	定义	含义
均值函数	$m(t) = \mathbb{E}[X_t]$	过程的平均趋势
协方差函数	$C(s,t) = \text{Cov}(X_s, X_t)$	不同时刻的相关性
方差函数	$v(t) = \text{Var}(X_t) = C(t,t)$	时刻 $t$ 的不确定性

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Quant Link：在衍生品定价中，风险中性测度 $Q$ 下的资产价格过程必须是一个 $\mathcal{F}_t$-鞅。过滤 $\mathcal{F}_t$ 代表了交易者拥有的全部市场信息（历史价格、成交量等）。选择适当的过滤结构是理解期权定价框架的基础——Black-Scholes 模型假设过滤由股票价格过程 $\{S_t\}$ 自然生成，而更复杂的模型（如 Heston 随机波动率模型）则需要扩展过滤以包含波动率过程。

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