4.3 方差分析（ANOVA）

方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）用于比较三个及以上总体的均值是否相等。核心思想是将总变异分解为组间变异（由处理因素引起）和组内变异（由随机误差引起）。

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一、基本概念

1.1 为什么不用两两 t 检验？

比较 $k=3$ 个策略的均值，如果两两做 t 检验需要 $C_3^2=3$ 次。随着 $k$ 增大，多重比较的累积 Type I 错误率急剧上升。ANOVA 通过一次 F 检验解决这个问题。

1.2 模型设定

$$y_{ij} = \mu + \tau_j + \varepsilon_{ij}, \quad \varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$$

• $y_{ij}$：第 $j$ 组的第 $i$ 个观测值
• $\mu$：总体均值
• $\tau_j$：第 $j$ 组的效应
• $\varepsilon_{ij}$：随机误差

假设：$H_0: \tau_1 = \tau_2 = \cdots = \tau_k = 0$ vs $H_1: \exists\, j, \tau_j \neq 0$

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二、方差分解

2.1 平方和分解

总平方和 SST = 组间平方和 SSA + 组内平方和 SSE：

来源	平方和公式	自由度	均方
组间（处理）	$SSA = \sum_{j=1}^k n_j(\bar{y}_j - \bar{y})^2$	$k-1$	$MSA = SSA/(k-1)$
组内（误差）	$SSE = \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^{n_j} (y_{ij} - \bar{y}_j)^2$	$N-k$	$MSE = SSE/(N-k)$
总和	$SST = \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^{n_j} (y_{ij} - \bar{y})^2$	$N-1$	—

2.2 F 统计量

$$F = \frac{MSA}{MSE} \sim F(k-1, N-k)$$

若 $F > F_\alpha(k-1, N-k)$，拒绝 $H_0$，至少有一组均值与其他组显著不同。

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三、手算示例：比较三种交易策略

某量化团队开发了三种日内交易策略（A、B、C），记录了各自 10 天的收益率（%）：

原始数据

天数	策略 A	策略 B	策略 C
1	2.3	1.2	0.8
2	1.8	1.5	1.0
3	2.0	0.9	0.6
4	2.5	1.8	1.2
5	1.5	1.0	0.5
6	2.2	1.3	0.9
7	1.9	1.1	0.7
8	2.1	1.4	1.1
9	1.7	0.8	0.4
10	2.4	1.6	1.0

第一步：计算各组均值

策略	总和 $\sum y_{ij}$	均值 $\bar{y}_j$	$n_j$
A	$20.4$	$2.04$	$10$
B	$12.6$	$1.26$	$10$
C	$8.2$	$0.82$	$10$

总均值 $\bar{y} = (20.4 + 12.6 + 8.2) / 30 = 41.2 / 30 = 1.3733$

第二步：计算 SSA（组间平方和）

$$SSA = 10 \times (2.04-1.3733)^2 + 10 \times (1.26-1.3733)^2 + 10 \times (0.82-1.3733)^2$$

$$SSA = 10 \times 0.4444 + 10 \times 0.0128 + 10 \times 0.3052 = 4.444 + 0.128 + 3.052 = 7.624$$

第三步：计算 SSE（组内平方和）

$i$	$y_{iA}$	$(y_{iA}-\bar{y}_A)^2$	$y_{iB}$	$(y_{iB}-\bar{y}_B)^2$	$y_{iC}$	$(y_{iC}-\bar{y}_C)^2$
1	2.3	0.0676	1.2	0.0036	0.8	0.0004
2	1.8	0.0576	1.5	0.0576	1.0	0.0324
3	2.0	0.0016	0.9	0.1296	0.6	0.0484
4	2.5	0.2116	1.8	0.2916	1.2	0.1444
5	1.5	0.2916	1.0	0.0676	0.5	0.1024
6	2.2	0.0256	1.3	0.0016	0.9	0.0064
7	1.9	0.0196	1.1	0.0256	0.7	0.0144
8	2.1	0.0036	1.4	0.0196	1.1	0.0784
9	1.7	0.1156	0.8	0.2116	0.4	0.1764
10	2.4	0.1296	1.6	0.1156	1.0	0.0324

$$SSE_A = 0.924, \quad SSE_B = 0.924, \quad SSE_C = 0.636$$

$$SSE = 0.924 + 0.924 + 0.636 = 2.484$$

第四步：构建 ANOVA 表

来源	SS	df	MS	$F$	临界值
组间（策略）	$7.624$	$2$	$3.812$	$41.41$	$F_{0.05}(2,27)=3.35$
组内（误差）	$2.484$	$27$	$0.092$	—	—
总和	$10.108$	$29$	—	—	—

第五步：结论

$F = 41.41 > 3.35$，$p < 0.0001$，拒绝 $H_0$。三种策略的收益率均值存在显著差异。

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四、事后检验（Post-hoc Analysis）

ANOVA 只能告诉你有差异，但不能告诉你哪几组有差异。常用事后检验：

方法	特点
Tukey HSD（Honest Significant Difference，诚实显著差异）	控制所有两两比较的 FWER（Family-Wise Error Rate，族系错误率）
Bonferroni	最保守，$\alpha_{\text{adj}} = \alpha/m$
Scheffé	适用于所有线性组合比较

Tukey HSD 对本例的计算：

比较	均值差	HSD 临界值	显著？
A vs B	$2.04 - 1.26 = 0.78$	$3.49 \times \sqrt{0.092/10}=0.335$	✅
A vs C	$2.04 - 0.82 = 1.22$	$0.335$	✅
B vs C	$1.26 - 0.82 = 0.44$	$0.335$	✅

三者两两之间均显著不同，策略 A 最优。

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Quant Link：策略选择

ANOVA 在量化中的应用：

1. 策略分组比较：不同参数配置下的策略表现是否存在显著差异
2. 因子分组检验：按因子分位数分组（如 5 组），检验各组的未来收益均值是否相等
3. 市场状态分析：不同市场环境（牛市/熊市/震荡市）下策略表现比较
4. 多因子排序：多个备选因子，ANOVA 筛选哪些因子在 top/minus/bottom 组间有显著区分度

注意事项：

• ANOVA 要求方差齐性（各组方差相近）——可用 Levene 检验验证
• 若方差差异大，使用 Welch's ANOVA 替代
• 策略数量较多时，需控制多重比较的误差累积

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Python 验证

import numpy as np
from scipy import stats
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 数据
A = np.array([2.3, 1.8, 2.0, 2.5, 1.5, 2.2, 1.9, 2.1, 1.7, 2.4])
B = np.array([1.2, 1.5, 0.9, 1.8, 1.0, 1.3, 1.1, 1.4, 0.8, 1.6])
C = np.array([0.8, 1.0, 0.6, 1.2, 0.5, 0.9, 0.7, 1.1, 0.4, 1.0])

# 单因素 ANOVA
f_stat, p_val = stats.f_oneway(A, B, C)
print(f"F 统计量 = {f_stat:.4f}, p-value = {p_val:.6f}")
print(f"结论: {'策略间有显著差异' if p_val < 0.05 else '策略间无显著差异'}")

# 事后 Tukey HSD
from statsmodels.stats.multicomp import pairwise_tukeyhsd
import pandas as pd
all_returns = np.concatenate([A, B, C])
groups = ['A']*10 + ['B']*10 + ['C']*10
tukey = pairwise_tukeyhsd(all_returns, groups, alpha=0.05)
print(tukey)

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小结

概念	含义	在策略比较中的作用
SSA	组间变异（策略差异）	越大说明策略效果差异越明显
SSE	组内变异（随机噪声）	反映了策略收益的稳定性
MSA	组间均方	策略效应强度
MSE	组内均方（合并方差）	估计 $\sigma^2$
F 值	信号/噪声比	越大说明策略差异越可靠

下一步：继续学习 4.4 回归分析——量化因子与收益之间的线性关系。