2.2 线性方程组

解方程是量化里最常见的操作——因子分析、回归、资产定价，最终都归结为解一个线性系统。

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一、形式

方程组

$$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 7 \end{cases}$$

可以写成矩阵形式：

$$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}, \quad A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix},\; \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\; \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix}$$

如果 $A$ 可逆，解就是 $\boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b}$。

二、手算

$$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 7 \end{cases}$$

方法一：代入法

由第二式得 $y = 4x - 7$，代入第一式：$2x + 3(4x - 7) = 7$

$$2x + 12x - 21 = 7 \quad\Rightarrow\quad 14x = 28 \quad\Rightarrow\quad x = 2$$

代入得 $y = 4 \times 2 - 7 = 1$。

方法二：矩阵求逆

$A^{-1} = \dfrac{1}{2\times(-1) - 3\times4} \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{-14} \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{14} & \frac{3}{14} \\ \frac{4}{14} & -\frac{2}{14} \end{bmatrix}$

$\boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} \frac{1}{14} & \frac{3}{14} \\ \frac{4}{14} & -\frac{2}{14} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{7}{14} + \frac{21}{14} \\ \frac{28}{14} - \frac{14}{14} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

两种方法结果一样：$x = 2$，$y = 1$ ✅

三、无解和无穷多解

不是所有方程组都有唯一解。

情况	例子	含义
唯一解	上面的 $2\times2$	两条直线相交于一点
无解	$x + y = 1,\; x + y = 3$	平行线，不相交
无穷多解	$x + y = 1,\; 2x + 2y = 2$	两直线重合

Quant Link：线性回归就是解一个"数据点多于变量数"的方程组，这种情况通常无解（数据点不可能全落在一条直线上）。退而求其次，我们找最接近的解——最小化 $\|A\boldsymbol{x} - \boldsymbol{b}\|^2$，这就是最小二乘法，解为 $\boldsymbol{x} = (A^T A)^{-1} A^T \boldsymbol{b}$。

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四、Python 实践

import numpy as np

# 解线性方程组
A = np.array([[2, 3], [4, -1]])
b = np.array([7, 7])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(f"解: x={x[0]}, y={x[1]}")  # x=2, y=1

# 最小二乘（线性回归）
# 假设 4 个数据点 (x, y): (1, 2.1), (2, 3.9), (3, 6.0), (4, 8.2)
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]])  # 第一列截距
y = np.array([2.1, 3.9, 6.0, 8.2])
beta, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
print(f"回归系数 (截距, 斜率): {beta}")
print(f"预测值: {X @ beta}")
print(f"真实值: {y}")

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