4.1 均值回归策略

核心概念

均值回归（Mean Reversion） 基于金融学中的"价格围绕价值波动"假设——价格偏离均值越远，回归均值的概率越大。这与趋势跟踪截然相反。

布林带（Bollinger Bands）

约翰·布林格（John Bollinger）在1980年代提出的经典指标：

$$\begin{aligned} \text{中轨} &= \text{SMA}_t(n) \\ \text{上轨} &= \text{SMA}_t(n) + k \times \sigma_t(n) \\ \text{下轨} &= \text{SMA}_t(n) - k \times \sigma_t(n) \end{aligned}$$

其中 $k$ 通常取 2，$\sigma_t(n)$ 为最近 $n$ 日的标准差。

Z-Score

Z-Score 衡量当前价格偏离均值多少倍标准差：

$$z_t = \frac{P_t - \mu_t}{\sigma_t}$$

其中 $\mu_t = \text{SMA}_t(n)$，$\sigma_t$ 为样本标准差。

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手工计算：20日价格序列的 Z-Score

问题：给定20个交易日的收盘价，计算滚动均值、标准差和 Z-Score，确定交易信号。

数据表（价格单位：¥）：

日期	收盘价 ¥	20-SMA	标准差	Z-Score	信号
T-19	98.00	—	—	—	—
T-18	99.50	—	—	—	—
T-17	100.00	—	—	—	—
...	...	...	...	...	...
T-1	105.00	101.50	2.10	1.67	—
T（今日）	106.50	101.80	2.25	2.09	做空

为简洁，表格仅保留关键行。20日均线和标准差使用全部20个数据点计算。

分步计算（使用简化10日窗口演示）：

步骤1：计算均值

假设最近10天的价格为：98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 103, 105, 106.50

$$\mu = \frac{98 + 99 + 100 + 101 + 102 + 103 + 104 + 103 + 105 + 106.50}{10} = \frac{1021.50}{10} = 102.15$$

步骤2：计算标准差

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (P_i - \mu)^2}{n-1}}$$

$i$	$P_i$	$P_i - \mu$	$(P_i - \mu)^2$
1	98.00	-4.15	17.2225
2	99.00	-3.15	9.9225
3	100.00	-2.15	4.6225
4	101.00	-1.15	1.3225
5	102.00	-0.15	0.0225
6	103.00	0.85	0.7225
7	104.00	1.85	3.4225
8	103.00	0.85	0.7225
9	105.00	2.85	8.1225
10	106.50	4.35	18.9225

平方和：$\sum (P_i - \mu)^2 = 65.0250$

$$\sigma = \sqrt{\frac{65.0250}{9}} = \sqrt{7.225} = 2.688$$

步骤3：计算 Z-Score

$$z = \frac{106.50 - 102.15}{2.688} = \frac{4.35}{2.688} = 1.618$$

$z = 1.618$ 位于 $1\sigma$ 和 $2\sigma$ 之间，尚未达到布林带上下轨的反转阈值。

步骤4：设定交易规则

Z-Score 范围	布林带位置	判断	操作
	$z > 2$	突破上轨	超买（Overbought）
$1 < z < 2$	上轨与中轨之间	偏贵、趋势偏强	观望/减仓
$-1 < z < 1$	中轨附近	合理估值	观望
$-2 < z < -1$	中轨与下轨之间	偏便宜、趋势偏弱	观望/减仓
	$z < -2$	突破下轨	超卖（Oversold）

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Quant Link

Quant Link：配对交易（Pairs Trading） 是均值回归最经典的量化实现。由 Morgan Stanley 的量化团队在1980年代开发。核心流程：①找到两只协整（Cointegrated）的股票（协整 = 两只股票的价格序列虽然各自随机游走，但它们的价差长期稳定，会回到均值——如百事和可口可乐）；②计算价差（Spread）及其 Z-Score；③当 Z-Score > 2 时做空价差（做多弱势股+做空强势股），Z-Score < -2 时做多价差。配对交易在震荡市中表现优异，是市场中性的（Market Neutral——无论大盘涨跌，策略收益与市场方向无关）典型策略。

实战注意事项

1. 参数选择：窗口期（20/30/60天）和 $k$ 值（2/2.5/3）影响信号频率
2. 趋势过滤：在大趋势行情中均值回归容易"接飞刀"（试图买入正在暴跌的资产，结果价格继续下跌——形容抄底被套），建议结合 ADX < 25 时使用
3. 止损（预设一个价格水平，当亏损达到该水平时自动平仓）：Z-Score 持续创新高可能意味着趋势形成而非回归，需设置硬止损

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关键公式总结

概念	公式	用途
布林带上轨	$\text{UB} = \mu + k\sigma$	超买阈值
布林带下轨	$\text{LB} = \mu - k\sigma$	超卖阈值
Z-Score	$z = (P - \mu) / \sigma $	偏离程度
配对价差	$S_t = \ln(P_A) - \beta\ln(P_B)$	配对交易

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下一步：4.2 回测框架与方法论 → 如何检验策略有效性。