2.1 有效前沿与最优组合

Harry Markowitz 在 1952 年提出的现代投资组合理论（MPT）是量化金融最核心的基石之一。其思想很直观：不要把鸡蛋放在一个篮子里，但具体放多少需要数学来计算。

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核心思想

Markowitz 优化要解决的数学问题：

$$\begin{aligned} & \min_w \quad w^T \Sigma w \\ & \text{s.t.} \quad w^T \mathbf{1} = 1, \quad w^T \mu = \mu_p \end{aligned}$$

直觉：给定一个目标收益 $\mu_p$，找到使组合风险（方差）最小的权重分配。

对每个可能的 $\mu_p$ 求解，就得到一条曲线 — 有效前沿（Efficient Frontier）。

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有效前沿图示

收益 ↑
     |
     |     ╱ 有效前沿（所有最优组合）
     |   ╱
     | ╱    ● 单个资产
     |╱  ╱
     |───────→ 风险（标准差）

• 有效前沿上的每个点都是在给定风险下收益最高的组合
• 有效前沿下方的任何点都不是最优的（可以做到更好）
• 有效前沿之外的区域不可达

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手算：两资产最小方差组合

对于两个资产，我们可以直接推导出最小方差组合的解析解。

问题：在资产 A 和 B 之间找到使组合方差最小的权重。

组合方差：

$$\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{AB}$$

其中 $w_B = 1 - w_A$。

对 $w_A$ 求导并令为 0，得到最小方差的权重：

$$w_A^* = \frac{\sigma_B^2 - \sigma_A \sigma_B \rho_{AB}}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2 \sigma_A \sigma_B \rho_{AB}}$$

数值计算

使用上一节的数据：

资产	标准差	权重（待求）
A（股票）	$\sigma_A = 20\%$	$w_A = ?$
B（债券）	$\sigma_B = 15\%$	$w_B = 1 - w_A$
相关系数	$\rho = 0.3$	—

逐步计算

步骤	计算	结果
1. $\sigma_A^2$	$0.20^2$	0.04
2. $\sigma_B^2$	$0.15^2$	0.0225
3. $\sigma_A \sigma_B \rho$	$0.20 \times 0.15 \times 0.3$	0.009
4. 分子: $\sigma_B^2 - \sigma_A\sigma_B\rho$	0.0225 - 0.009	0.0135
5. 分母: $\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\sigma_A\sigma_B\rho$	0.04 + 0.0225 - 2×0.009	0.0445
6. $w_A^*$	0.0135 / 0.0445	0.3034 = 30.34%
7. $w_B^*$	1 - 0.3034	0.6966 = 69.66%

检查结果

用求得的权重重新计算组合方差：

步骤	计算	结果
1. $w_A^2\sigma_A^2$	$0.3034^2 \times 0.04$	0.003682
2. $w_B^2\sigma_B^2$	$0.6966^2 \times 0.0225$	0.010917
3. $2w_Aw_B\sigma_A\sigma_B\rho$	$2 \times 0.3034 \times 0.6966 \times 0.009$	0.003805
4. 最小方差	0.003682 + 0.010917 + 0.003805	0.018404
5. 最小标准差	$\sqrt{0.018404}$	0.13566 = 13.57%

验证：比之前 60/40 组合的 14.94% 风险更低。

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不同权重下的风险收益

$w_A$（股票）	$w_B$（债券）	组合收益	组合标准差
0.0%	100.0%	8.00%	15.00%
30.34%	69.66%	9.21%	13.57%（最小风险）
40.0%	60.0%	9.60%	13.72%
50.0%	50.0%	10.00%	14.30%
60.0%	40.0%	10.40%	14.94%
80.0%	20.0%	11.20%	17.17%
100.0%	0.0%	12.00%	20.00%

Quant Link：注意最小方差组合的权重 (30/70) 和直觉想的"50/50 最稳妥"完全不同。它更偏向风险较低的债券（B），因为 B 的标准差小且协方差为正 — 这就是数学告诉你"不要凭感觉分配权重"的最好例子。

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有效前沿的构建流程

对所有可能的 w_A（从 0 到 1）:
    1. 计算组合收益 R_p = w_A×R_A + (1-w_A)×R_B
    2. 计算组合方差 σ²_p
    3. 记录点 (σ_p, R_p)
    
找出所有"在给定风险下收益最高"的点 → 有效前沿

在实际应用中，当资产数量超过 3-4 个时，解析解不再存在，需要用数值优化求解。

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加入无风险资产

当引入无风险资产（如国债，收益 $R_f$，方差为 0）后，有效前沿变成一条直线 — 资本市场线（CML）。

$$R_p = R_f + \frac{R_m - R_f}{\sigma_m} \sigma_p$$

其中 $m$ 是切点组合（Tangency Portfolio） — 所有投资者都应该持有的市场组合。

概念	含义
CML	无风险资产与市场组合的所有线性组合
切点组合	有效前沿上与 CML 相切的点 = 最大夏普比率组合
分离定理	投资者的风险偏好只影响在无风险资产和切点组合之间的分配，不影响切点组合本身的构成

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下一步：2.2 夏普比率与绩效度量 — 如何用单一数字衡量策略的好坏