2.3 因子模型

为什么有些股票涨得多，有些涨得少？因子模型提供了一种系统性解释 — 收益可以分解为对各种"因子"的暴露。

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CAPM：资本资产定价模型

CAPM (Capital Asset Pricing Model) 由 Sharpe (1964) 和 Lintner (1965) 提出，是现代金融的基石之一。

模型公式

$$\boxed{E[R_i] = R_f + \beta_i (E[R_m] - R_f)}$$

符号	含义
$E[R_i]$	资产 i 的期望收益
$R_f$	无风险利率
$E[R_m] - R_f$	市场风险溢价（Market Risk Premium——投资股票市场而非无风险资产所获得的额外预期回报）
$\beta_i$	资产 i 的贝塔 — 对市场风险的敏感度

Beta 的直观理解

β 值	含义	示例
β = 1	与市场同涨同跌	大盘指数 ETF
β > 1	比市场更波动	科技股（β ≈ 1.2-1.5）
0 < β < 1	比市场更平稳	公用事业股（β ≈ 0.5-0.7）
β = 0	与市场无关	国债
β < 0	与市场反向	避险资产、黄金（有时）

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手算：用五期数据计算 Beta

Beta 是股票收益对市场收益的线性回归斜率：

$$\beta = \frac{Cov(R_i, R_m)}{Var(R_m)}$$

给定数据（5 个周期）

周期	股票收益 $R_i$	市场收益 $R_m$
1	5%	3%
2	-2%	1%
3	8%	4%
4	3%	-1%
5	-4%	-2%

逐步计算

步骤	计算	结果
1. $\bar{R}_i$	(5 - 2 + 8 + 3 - 4) / 5	2.0%
2. $\bar{R}_m$	(3 + 1 + 4 - 1 - 2) / 5	1.0%
3. 协方差分子	见下表	0.0018
4. 市场方差分子	见下表	0.00044
5. 协方差 $Cov(R_i,R_m)$	0.0018 / (5-1)	0.00045
6. 市场方差 $Var(R_m)$	0.00044 / (5-1)	0.00011
7. $\beta$	0.00045 / 0.00011	4.09

详细协方差/方差计算表

周期	$R_i$	$R_m$	$R_i - \bar{R}_i$	$R_m - \bar{R}_m$	叉积	$(R_m - \bar{R}_m)^2$
1	5%	3%	3%	2%	0.0006	0.0004
2	-2%	1%	-4%	0%	0.0000	0.0000
3	8%	4%	6%	3%	0.0018	0.0009
4	3%	-1%	1%	-2%	-0.0002	0.0004
5	-4%	-2%	-6%	-3%	0.0018	0.0009
和	—	—	—	—	0.0040	0.0026
均值	—	—	—	—	0.0040/4 = 0.0010 (应为0.004/4)

等等，让我们重新仔细地算一遍：

周期	$R_i$	$R_m$	$R_i - \bar{R}_i$	$R_m - \bar{R}_m$	叉积 = (3)×(4)	$(R_m - \bar{R}_m)^2$
1	0.05	0.03	0.03	0.02	0.0006	0.0004
2	-0.02	0.01	-0.04	0.00	0.0000	0.0000
3	0.08	0.04	0.06	0.03	0.0018	0.0009
4	0.03	-0.01	0.01	-0.02	-0.0002	0.0004
5	-0.04	-0.02	-0.06	-0.03	0.0018	0.0009
和	—	—	—	—	0.0040	0.0026

• 协方差 = 0.0040 / (5 - 1) = 0.0040 / 4 = 0.0010
• 市场方差 = 0.0026 / (5 - 1) = 0.0026 / 4 = 0.00065
• $\beta$ = 0.0010 / 0.00065 = ≈ 1.54

结果解读

$\beta \approx 1.54$ 意味着：

• 市场涨 1%，该股票平均涨 1.54%
• 市场跌 1%，该股票平均跌 1.54%
• 这是一只高 Beta 股票，比市场风险更高

CAPM 应用

假设无风险利率 $R_f = 2\%$，市场风险溢价 $E[R_m] - R_f = 6\%$：

$$E[R_i] = 2\% + 1.54 \times 6\% = 2\% + 9.24\% = \textbf{11.24\%}$$

Quant Link：CAPM 的洞见在于 — 只有系统性风险（市场风险）才能获得风险溢价，非系统性风险（公司特有风险）可以通过分散化消除，所以市场不会为此补偿你。这就是"不要赌单一股票"的数学原因。

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Fama-French 三因子模型

Eugene Fama 和 Kenneth French 在 1993 年发现，CAPM 无法解释许多市场异象，于是扩展为三因子模型：

$$\boxed{E[R_i] - R_f = \beta_i (E[R_m] - R_f) + s_i \cdot SMB + h_i \cdot HML}$$

三因子含义

因子	缩写	含义	说明
市场	$R_m - R_f$	市场风险溢价	CAPM 的原始因子
SMB	Small Minus Big	规模因子	小盘股 - 大盘股收益差
HML	High Minus Low	价值因子	高账面市值比 - 低账面市值比收益差

实证发现

因子	历史超额收益（美国，年化）	含义
市场 (MKT)	≈ 6-8%	长期持有股票超过国债的收益
SMB	≈ 2-4%	小盘股长期优于大盘股
HML	≈ 3-5%	价值股长期优于成长股

在量化策略中的应用

策略超额收益 = β₁ × 市场因子 + β₂ × 规模因子 + β₃ × 价值因子 + α（残差）

• 因子暴露 ($\beta_1, \beta_2, \beta_3$)：策略在不同因子上的"仓位"
• Alpha ($\alpha$)：策略不通过因子暴露获得的超额收益 — 真正的"超额能力"

Quant Link：如果一个策略的夏普比率很高，但通过因子回归后发现所有收益都能被已知因子解释（$\alpha \approx 0$），那它本质上只是在"买小盘价值股"，而非有独特优势。这正是量化基金做归因分析（Attribution Analysis）（拆解收益来源，看哪些来自因子、哪些来自真正的选股能力）的思路。

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因子模型演进

模型	年份	因子数量	因子
CAPM	1964	1	市场
Fama-French 3-factor	1993	3	市场、规模、价值
Carhart 4-factor	1997	4	+ 动量 (Momentum)
Fama-French 5-factor	2015	5	+ 盈利、投资

但要注意：因子越多，过拟合风险越大 — 这就是"因子动物园（Factor Zoo）"现象（研究者发布了数百个因子，但很多只是数据挖掘的假发现，真正独立有效的因子远少于这个数字）。

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总结对照表

概念	一句话	公式
CAPM	收益来自市场风险暴露	$E[R_i] = R_f + \beta(E[R_m] - R_f)$
Beta	对市场的敏感度	$\beta = Cov(R_i, R_m) / Var(R_m)$
三因子	小盘和价值也是因子	$R_i - R_f = \beta MKT + s \cdot SMB + h \cdot HML + \alpha$
Alpha	扣除因子后的超额收益	...才是真正的能力

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