3.1 债券定价与久期

核心概念

债券是发行人向投资者借入资金的债务证券，承诺按期付息并在到期日偿还本金。

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零息债券（Zero-Coupon Bond）

不付息，仅到期偿还面值，折价发行：

$$P = \frac{F}{(1 + r)^T}$$

示例：面值 $1,000 的 3 年期零息债券，市场利率 4%：

$$P = \frac{1000}{(1.04)^3} = \frac{1000}{1.124864} = 888.99$$

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付息债券定价（Coupon Bond Pricing）

债券价格为未来所有现金流（票息 + 面值）的现值之和：

$$P = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1 + y)^t} + \frac{F}{(1 + y)^T}$$

其中 $C$ 为年票息，$y$ 为到期收益率（YTM），$F$ 为面值。

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手工计算：3 年期付息债券

问题：面值 $1,000，年票息率 5%，到期收益率 4%，每年付息一次。求债券价格。

分步计算：

年份	现金流	贴现因子 $(1.04)^{-t}$	现值
1	$50.00$（票息）	$1/1.04^1 = 0.9615$	$50 \times 0.9615 = 48.08$
2	$50.00$（票息）	$1/1.04^2 = 0.9246$	$50 \times 0.9246 = 46.23$
3	$1,050.00$（票息+面值）	$1/1.04^3 = 0.8890$	$1050 \times 0.8890 = 933.45$
合计			$1,027.76

$$P = \frac{50}{1.04} + \frac{50}{1.04^2} + \frac{1050}{1.04^3} = 48.08 + 46.23 + 933.45 = 1027.76$$

当 $YTM <$ 票息率时，债券溢价交易（价格 $>$ 面值）。如果 YTM $= 5\%$，价格将恰好等于 $1,000$（平价交易）。

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到期收益率（Yield to Maturity, YTM）

YTM 是使债券的现值等于其市场价格的贴现率，即债券的"内部收益率"：

$$P = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1 + \text{YTM})^t} + \frac{F}{(1 + \text{YTM})^T}$$

YTM 无法直接求解，通常使用试错法（迭代求解）或金融计算器。

Quant Link：YTM 是债券市场最常用的收益率指标，但它假设所有票息都能以相同的 YTM 再投资——这在实际中往往不成立。

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久期（Duration）

麦考利久期（Macaulay Duration） 衡量债券价格对利率变化的敏感度，以年为单位：

$$D_{\text{Mac}} = \frac{\sum_{t=1}^{T} t \times \frac{CF_t}{(1+y)^t}}{P}$$

修正久期（Modified Duration） 直接给出利率变化 1% 时价格变化的大致百分比：

$$D_{\text{Mod}} = \frac{D_{\text{Mac}}}{1 + y}$$

价格变化近似：

$$\Delta P \approx -D_{\text{Mod}} \times P \times \Delta y$$

久期计算示例

沿用上述债券（$1,027.76，YTM = 4%）：

年份	现金流现值	年份 × 现值
1	$48.08	$48.08
2	$46.23	$92.46
3	$933.45	$2,800.35
合计	$1,027.76	$2,940.89

$$D_{\text{Mac}} = \frac{2940.89}{1027.76} = 2.86 \text{ 年}$$

$$D_{\text{Mod}} = \frac{2.86}{1.04} = 2.75$$

若利率上升 1%（从 4% 到 5%），价格预期下降约：

$$\Delta P \approx -2.75 \times 1027.76 \times 0.01 = -28.26$$

Quant Link：久期是固定收益交易员最核心的风险指标。对冲利率风险时，久期匹配（Duration Matching）（调整组合中债券的久期使其与负债久期相等，从而对冲利率变化的影响）是免疫策略（Immunization）的基础。更精确的指标是凸性（Convexity）——久期对利率变化的二阶导数，用于修正久期的线性近似误差（利率变动大时，久期预测的误差会变大，凸性补足这个缺口）。

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关键公式总结

概念	公式	用途
零息债券定价	$P = F/(1+r)^T$	纯贴现债券
付息债券定价	$P = \sum C/(1+y)^t + F/(1+y)^T$	标准债券
麦考利久期	$D_{\text{Mac}} = \frac{\sum t \cdot PV(CF_t)}{P}$	回收期度量
修正久期	$D_{\text{Mod}} = D_{\text{Mac}}/(1+y)$	利率敏感度
价格变化	$\Delta P \approx -D_{\text{Mod}} \cdot P \cdot \Delta y$	风险度量

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下一步：3.2 期货定价 → 了解远期和期货的持有成本模型。