3.0 货币时间价值

核心概念

货币时间价值（Time Value of Money, TVM） 是指同样一笔钱，今天到手比未来到手更值钱——因为今天可以投资生息。

复利（Compounding）

将现值（Present Value, PV）转换为终值（Future Value, FV）：

$$FV = PV \times (1 + r)^t$$

其中 $r$ 为年化收益率，$t$ 为年限。

贴现（Discounting）

将终值转换为现值，是复利的逆运算：

$$PV = \frac{FV}{(1 + r)^t}$$

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手工计算：$100 投资于 5%，3 年

问题：今天投入 $100，年化收益率 5%，按年复利，3 年后价值多少？

分步计算：

年份	年初余额	利息（5%）	年末余额	公式推导
1	$100.00	$5.00	$105.00	$100 \times 1.05^1$
2	$105.00	$5.25	$110.25	$100 \times 1.05^2$
3	$110.25	$5.51	$115.76	$100 \times 1.05^3$

最终结果：

$$FV = 100 \times (1.05)^3 = 100 \times 1.157625 = 115.76$$

Quant Link：货币时间价值是所有金融定价的基础——从债券定价到衍生品估值，每一步都离不开复利和贴现。华尔街有句老话："Time is money"，在量化金融里这是字面意义的真理。

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净现值（Net Present Value, NPV）

投资项目时，将未来所有现金流按贴现率折回今天，减去初始投资：

$$NPV = \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t}{(1 + r)^t} - C_0$$

示例：项目初始投入 $500，未来 3 年每年回报 $200，贴现率 5%。

年份	现金流	贴现因子 $(1.05)^{-t}$	现值
0	-$500.00	1.0000	-$500.00
1	$200.00	0.9524	$190.48
2	$200.00	0.9070	$181.41
3	$200.00	0.8638	$172.77
NPV			$44.65

$NPV > 0$ 意味着项目在扣除资金成本后仍有盈利。

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连续复利（Continuous Compounding）

当复利频率趋近无穷大时：

$$FV = PV \times e^{rt}$$

这在衍生品定价（尤其是 Black-Scholes 模型）中广泛使用。

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贴现率（Discount Rate）的选择

贴现率反映资金的机会成本和风险：

• 无风险利率（通常用国债收益率）——适用于确定现金流
• 资本资产定价模型（CAPM）推导的加权平均资本成本（WACC）——适用于公司估值
• 风险调整贴现率——适用于不确定性较高的项目

Quant Link：在期权定价中，BS 公式使用的就是连续复利形式的无风险利率 $e^{-rT}$，这正是 TVM 在衍生品领域最直接的应用。

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关键公式总结

概念	公式	用途
终值（离散复利）	$FV = PV(1 + r)^t$	计算投资到期价值
终值（连续复利）	$FV = PV \cdot e^{rt}$	衍生品定价
现值（离散贴现）	$PV = FV / (1 + r)^t$	债券定价
现值（连续贴现）	$PV = FV \cdot e^{-rt}$	期权定价
净现值	$NPV = \sum CF_t/(1+r)^t - C_0$	项目评估

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下一步：3.1 债券定价与久期 → 将 TVM 应用于固定收益证券。