2.0 组合收益与风险

量化交易的核心问题之一：如何度量一个投资组合的表现？ 这需要同时考虑收益（赚多少）和风险（波动多大）。

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收益率计算

简单收益率 (Simple Return)

$$R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1$$

对数收益率 (Log Return)

$$r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) = \ln(1 + R_t)$$

手算：两者对比

时间	价格	简单收益 $R_t$	对数收益 $r_t$
t=0	$100	—	—
t=1	$105	(105-100)/100 = 5.00%	ln(105/100) = 4.88%
t=2	$110	(110-105)/105 = 4.76%	ln(110/105) = 4.65%
t=3	$99	(99-110)/110 = -10.00%	ln(99/110) = -10.54%
总收益	—	(99/100)-1 = -1.00%	ln(99/100) = -1.01%

注意：多个时间段的简单收益不能直接相加（要相乘），而对数收益可以直接相加。这就是为什么量化分析中常用对数收益。

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组合的期望收益

如果有 $n$ 个资产，权重分别为 $w_1, w_2, ..., w_n$，则组合收益为：

$$R_p = \sum_{i=1}^n w_i R_i = w_1 R_1 + w_2 R_2 + \cdots + w_n R_n$$

其中权重之和必须为 1：$\sum_{i=1}^n w_i = 1$

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组合的方差（风险）

组合方差依赖于资产之间的协方差（相关性）：

$$\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij} = w^T \Sigma w$$

展开到两个资产：

$$\sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \sigma_1 \sigma_2 \rho_{12}$$

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手算：两资产组合的完整计算

给定数据：

资产	权重	期望收益	标准差
A（股票）	60%	12%	20%
B（债券）	40%	8%	15%

相关系数 $\rho_{AB} = 0.3$

第一步：组合收益

步骤	计算	结果
1. 资产 A 贡献	0.60 × 0.12	0.072
2. 资产 B 贡献	0.40 × 0.08	0.032
3. 组合收益	0.072 + 0.032	0.104 = 10.4%

第二步：组合方差

步骤	公式	计算	结果
1. $w_A^2\sigma_A^2$	$0.6^2 \times 0.20^2$	$0.36 \times 0.04$	0.0144
2. $w_B^2\sigma_B^2$	$0.4^2 \times 0.15^2$	$0.16 \times 0.0225$	0.0036
3. $2w_Aw_B\sigma_A\sigma_B\rho$	$2 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.20 \times 0.15 \times 0.3$	$2 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.20 \times 0.15 \times 0.3$	0.00432
4. 组合方差	$0.0144 + 0.0036 + 0.00432$		0.02232
5. 组合标准差	$\sqrt{0.02232}$		0.1494 = 14.94%

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结果解读

指标	值	含义
组合收益	10.4%	加权平均，介于 8%-12% 之间
组合标准差	14.94%	低于资产 A 的 20%，也低于加权平均 0.6×20%+0.4×15%=18%

这就是分散化的力量：组合的风险（14.94%）低于两个资产风险的加权平均（18%），因为两个资产不完全相关（$\rho = 0.3$）。

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不同相关性下的组合风险

相关系数 $\rho$	组合标准差	与加权平均风险之差
+1.0（完全正相关）	18.00%	0 — 无分散化效果
+0.5	16.33%	-1.67%
+0.3（我们的例子）	14.94%	-3.06%
0.0（不相关）	13.42%	-4.58%
-0.5	9.85%	-8.15%
-1.0（完全负相关）	3.00%	-15.00%

Quant Link：现代投资组合理论（MPT）的核心洞见就在这张表里 — 资产之间的相关性越低，分散化效果越好。这也是为什么全球配置基金同时持有股票、债券、黄金、大宗商品：它们彼此相关性低。

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公式速查表

概念	单资产	两资产组合	n 资产组合
收益	$R_i$	$w_A R_A + w_B R_B$	$\sum w_i R_i$
方差	$\sigma^2_i$	$w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\sigma_{AB}$	$\sum\sum w_i w_j \sigma_{ij}$
标准差	$\sigma_i$	$\sqrt{\sigma_p^2}$	$\sqrt{w^T\Sigma w}$

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下一步：2.1 有效前沿与最优组合 — 在收益和风险之间找到最优权重