3.5 Greeks 与风险管理

核心概念

Greeks 是期权价格相对于各风险因子的偏导数，用于量化和管理期权组合的风险暴露。

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Delta（$\Delta$）

定义：期权价格对标的资产价格的一阶偏导数。

$$\Delta = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_1)$$

含义：标的资产价格变动 $1$ 单位时期权价格变化的近似量。

范围：

• 看涨期权：$0 < \Delta_{\text{call}} < 1$
• 看跌期权：$-1 < \Delta_{\text{put}} < 0$
• 平值附近：$\Delta_{\text{call}} \approx 0.5$，$\Delta_{\text{put}} \approx -0.5$

手工计算

沿用 3.4 节的参数：$S=100, K=100, T=1, r=5\%, \sigma=20\%$。

由之前计算：$d_1 = 0.35$，$N(d_1) = 0.6368$

$$\Delta_{\text{call}} = N(0.35) = 0.6368 \approx 0.6$$

价格变化估算：

情景	股价变化	Delta	期权价格变化	近似新价格
股价上涨 $1$	$100 \to 101$	$0.64$	$0.64 \times 1 = 0.64$	$10.45 + 0.64 = 11.09$
股价下跌 $1$	$100 \to 99$	$0.64$	$0.64 \times (-1) = -0.64$	$10.45 - 0.64 = 9.81$

Quant Link：Delta 对冲是期权做市商最核心的策略——通过买卖标的资产使 Delta 中性（净 Delta = 0），消除股价方向性风险，只赚取时间价值和波动率收益。

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Gamma（$\Gamma$）

定义：Delta 对标的资产价格的二阶偏导数，即期权价格的曲率。

$$\Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = \frac{N'(d_1)}{S \sigma \sqrt{T}}$$

其中 $N'(x) = e^{-x^2/2} / \sqrt{2\pi}$ 为标准正态概率密度函数。

含义：股价每变动 $1$ 单位，Delta 变化多少。

特性：平值期权 Gamma 最大；深度实值和深度虚值 Gamma 趋近于零。

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Theta（$\Theta$）

定义：期权价格对时间的偏导数，度量时间衰减。

$$\Theta_{\text{call}} = -\frac{S \cdot N'(d_1) \cdot \sigma}{2\sqrt{T}} - r K e^{-rT} N(d_2)$$

含义：每过去一天（或一年），期权价值损失多少。通常为负值（时间耗损）。

Quant Link：Theta 是期权卖方的"工资"——卖方通过收取时间价值获利，而买方则需要对抗时间衰减。这就是"Gamma 交易员靠 Theta 吃饭"说法的来源。

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Vega（$\nu$）

定义：期权价格对波动率的一阶偏导数。

$$\nu = S \cdot \sqrt{T} \cdot N'(d_1)$$

含义：隐含波动率每变动 1%（即 0.01），期权价格变化多少。

特性：剩余期限越长，Vega 越大；平值期权 Vega 最大。

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Rho（$\rho$）

定义：期权价格对无风险利率的一阶偏导数。

$$\rho_{\text{call}} = K \cdot T \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2)$$

含义：利率每变动 1%（即 0.01），期权价格变化多少。

特性：短期期权 Rho 接近零；长期期权 Rho 更大。外汇期权中 Rho 尤为重要。

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Greeks 汇总表

沿用 $S=100, K=100, T=1, r=5\%, \sigma=20\%$ 的平值看涨期权：

Greek	符号	BS 公式	数值	含义
Delta	$\Delta$	$N(d_1)$	$0.637$	股价 $+1$ → 期权 $+0.64$
Gamma	$\Gamma$	$\frac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}$	$0.019$	股价 $+1$ → Delta $+0.019$
Theta	$\Theta$	$-\frac{S N'(d_1)\sigma}{2\sqrt{T}} - rKe^{-rT}N(d_2)$	$-5.22/\text{年}$	每天流失 $5.22/365 \approx 0.014$
Vega	$\nu$	$S\sqrt{T} N'(d_1)$	$37.65$	波动率 $+1\%$ → 期权 $+0.38$
Rho	$\rho$	$KTe^{-rT}N(d_2)$	$53.23$	利率 $+1\%$ → 期权 $+0.53$

Quant Link：期权做市商通过 Greeks 管理风险头寸：Delta 对冲消除方向风险，Gamma 管理曲率风险，Vega 管理波动率风险，Theta 衡量持仓的时间成本。一个"完美好"的期权策略在 Greeks 框架下必定有取舍——没有免费午餐。

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Python Greeks 计算

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def black_scholes_greeks(S, K, T, r, sigma):
    d1 = (np.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    
    delta = norm.cdf(d1)                        # 看涨 Delta
    gamma = norm.pdf(d1) / (S * sigma * np.sqrt(T))
    theta = (-S * norm.pdf(d1) * sigma / (2 * np.sqrt(T)) 
             - r * K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2))  # 看涨 Theta（年化）
    vega = S * np.sqrt(T) * norm.pdf(d1)
    rho = K * T * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)  # 看涨 Rho
    
    return {'Delta': delta, 'Gamma': gamma, 
            'Theta': theta, 'Vega': vega, 'Rho': rho}

S, K, T, r, sigma = 100, 100, 1.0, 0.05, 0.20
g = black_scholes_greeks(S, K, T, r, sigma)
for k, v in g.items():
    print(f"{k}: {v:.4f}")

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下一步：3.6 期权策略 → 了解 Covered Call、Protective Put、Straddle、Spread 等实战策略。