3.2 期货定价

核心概念

期货（Futures） 和 远期（Forwards） 都是约定在未来某一日期以预定价格买卖某一资产的合约。主要区别在于期货在交易所标准化交易、每日盯市结算（Mark-to-Market）（即每天收盘后按当日结算价重新计算盈亏，保证金多退少补），而远期是场外（Over-the-Counter, OTC） 定制的非标准化合约（不通过交易所，双方私下签订）。

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持有成本模型（Cost of Carry Model）

期货的理论价格基于无套利原则（No-Arbitrage Principle）——如果现货 + 持有成本 ≠ 期货价格，交易者可同时买卖两者赚取无风险利润，套利行为会迅速将差价抹平，因此理论价格满足：

不付息资产

$$F = S_0 \times e^{rT}$$

其中 $S_0$ 为现货价格，$r$ 为无风险利率，$T$ 为到期时间（年）。

支付已知收益率的资产（如股票指数）

$$F = S_0 \times e^{(r - q)T}$$

其中 $q$ 为连续红利率或便利收益率（Convenience Yield——持有实物商品而非期货合约所获得的隐性收益，如炼油厂持有原油库存确保生产不停）。

支付已知现金收益的资产（如债券）

$$F = (S_0 - I) \times e^{rT}$$

其中 $I$ 为持有期内收益的现值。

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手工计算：S&P 500 指数期货

问题：S&P 500 指数当前为 4,500 点，无风险利率 5%，指数股息收益率 2%，6 个月到期。求标准普尔 500 指数期货的理论价格。

分步计算：

步骤	计算	结果
1. 计算连续复利净成本	$r - q = 0.05 - 0.02$	$0.03$
2. 计算时间（年）	$T = 6/12$	$0.5$
3. 计算指数值	$(r - q) \times T = 0.03 \times 0.5$	$0.015$
4. 计算 $e^{(r-q)T}$	$e^{0.015} \approx 1.015113$	$1.0151$
5. 计算期货价格	$4500 \times 1.0151$	$4,568.0$

$$F = 4500 \times e^{(0.05 - 0.02) \times 0.5} = 4500 \times e^{0.015} = 4500 \times 1.015113 = 4568.0$$

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基差（Basis）

基差定义为现货价格减去期货价格：

$$\text{Basis} = S - F$$

对于上述示例：

$$\text{Basis} = 4500 - 4568 = -68 \text{ 点}$$

基差为负值（期货溢价），反映了正的净持有成本。

Quant Link：基差交易（Basis Trading） 是量化对冲基金的重要策略之一——利用现货与期货之间的价差变化来获利。当期货价格偏离理论值时，交易员可以做现货-期货套利（Cash-and-Carry Arbitrage）（买入现货、卖出期货，赚取价差，到期时两者价格收敛）。但在实际交易中，基差还会受到流动性、交易成本和卖空限制的影响。

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期货 vs 远期对比

特征	期货	远期
交易场所	交易所	场外（OTC）
标准化	是	否
结算方式	每日盯市	到期一次性结算
对手方风险	低（中央清算）	高
流动性	高	低
保证金	需初始和维持保证金	通常无

Quant Link：虽然理论上利率与期货价格之间通过持有成本公式关联，但在大宗商品期货中，便利收益率（持有实物商品的隐性收益）和存储成本起着重要作用，这使得商品期货定价更为复杂。

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期货期限结构

期货价格与到期时间的关系形成期限结构（Term Structure）：

• 期货升水（Contango）：远期价格 > 近期价格（$F_{T_2} > F_{T_1}$），常见的正常情况
• 现货溢价（Backwardation）：远期价格 < 近期价格（$F_{T_2} < F_{T_1}$），多见于供给紧张的商品

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关键公式总结

场景	公式	说明
无收益资产	$F = S_0 e^{rT}$	股票、黄金
已知收益率	$F = S_0 e^{(r-q)T}$	股票指数
已知现金收益	$F = (S_0 - I)e^{rT}$	付息债券
商品期货	$F = S_0 e^{(r+u-y)T}$	含存储成本和便利收益
基差	$\text{Basis} = S - F$	现货与期货价差

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下一步：3.3 期权基础 → 理解看涨/看跌期权、实值/平值/虚值状态及盈亏图。