3.4 Black-Scholes 定价模型

核心概念

Black-Scholes 模型（1973 年由 Black、Scholes 和 Merton 提出）是期权定价的基石，适用于欧式期权（仅能在到期日行权）。

关键假设：

• 标的资产价格服从对数正态分布（几何布朗运动）
• 无交易成本、无税收
• 无风险利率 $r$ 和波动率 $\sigma$ 为常数
• 无股息（可扩展为有股息版本）

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BS 看涨期权定价公式

$$C = S_0 \times N(d_1) - K \times e^{-rT} \times N(d_2)$$

其中：

$$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$$

$$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$$

直观理解

符号	意义	直观理解
$N(d_1)$	Delta	股价变化时期权价格的敏感度
$N(d_2)$	行权概率（风险中性）	到期时期权处于实值的风险中性概率
$S_0 \times N(d_1)$	预期买入成本	风险中性下买入股票的价值
$K \times e^{-rT} \times N(d_2)$	预期行权成本的现值	风险中性下行权支付的现值

Quant Link：BS 公式中的 $N(d_2)$ 即为期权在风险中性测度下到期实值的概率。这是量化中"风险中性定价"思想的核心体现——期权价格等于未来预期收益在风险中性世界中的贴现。

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手工计算：定价一个平值看涨期权

问题：标的股价 $S_0 = 100$，行权价 $K = 100$，到期 $T = 1$ 年，无风险利率 $r = 5\%$，波动率 $\sigma = 20\%$。求看涨期权价格。

分步计算：

步骤	公式	计算	结果
1. $\ln(S_0/K)$	$\ln(100/100)$	$\ln(1)$	$0$
2. $(r + \sigma^2/2)T$	$(0.05 + 0.20^2/2) \times 1$	$(0.05 + 0.02) \times 1$	$0.07$
3. $\sigma\sqrt{T}$	$0.20 \times \sqrt{1}$	$0.20 \times 1$	$0.20$
4. $d_1$	$(0 + 0.07) / 0.20$	$0.07 / 0.20$	$0.35$
5. $d_2$	$0.35 - 0.20$		$0.15$
6. $N(d_1)$	标准正态 CDF	$\Phi(0.35)$	$0.6368$
7. $N(d_2)$	标准正态 CDF	$\Phi(0.15)$	$0.5596$
8. $S_0 N(d_1)$	$100 \times 0.6368$		$63.68$
9. $K e^{-rT} N(d_2)$	$100 \times e^{-0.05} \times 0.5596$	$100 \times 0.9512 \times 0.5596$	$53.23$
10. 期权价格 $C$	$63.68 - 53.23$		$10.45$

$$C = 100 \times N(0.35) - 100 \times e^{-0.05} \times N(0.15) = 63.68 - 53.23 = 10.45$$

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Python 实现

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def black_scholes_call(S, K, T, r, sigma):
    """
    S     : 标的资产当前价格
    K     : 行权价
    T     : 到期时间（年）
    r     : 无风险利率
    sigma : 波动率
    """
    d1 = (np.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    
    call_price = S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    return call_price

# 验证手工计算
S, K, T, r, sigma = 100, 100, 1.0, 0.05, 0.20
price = black_scholes_call(S, K, T, r, sigma)
print(f"BS 看涨期权价格: ${price:.2f}")
# 输出: BS 看涨期权价格: $10.45

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看跌期权定价（Put-Call Parity）

平价关系（Put-Call Parity）将欧式看跌与看涨期权联系起来：

$$C - P = S_0 - K e^{-rT}$$

因此看跌期权价格为：

$$P = C - S_0 + K e^{-rT}$$

代入上述结果：

$$P = 10.45 - 100 + 100 \times e^{-0.05} = 10.45 - 100 + 95.12 = 5.57$$

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参数敏感性

参数增加	看涨期权价格	看跌期权价格
股价 $S$	↑	↓
行权价 $K$	↓	↑
到期时间 $T$	↑（通常）	↑（通常）
波动率 $\sigma$	↑	↑
无风险利率 $r$	↑	↓

Quant Link：BS 模型的迷人之处在于——唯一不可观测的参数是波动率 $\sigma$。这衍生出了"隐含波动率"（Implied Volatility）的概念：将市场价格代入 BS 公式反推 $\sigma$，用于比较期权是否被高估或低估。波动率微笑（Volatility Smile） 便是这一过程中观察到的经验现象——当行权价远离当前股价时，隐含波动率往往升高，形状像一张微笑的嘴。这说明市场认为极端行情比 BS 模型假设的更可能出现。

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下一步：3.5 Greeks 与风险管理 → 学习 Delta、Gamma、Theta、Vega、Rho 等风险指标。