3.5 回归分析与假设检验

对应 MIT 18.S096 L6: Regression Analysis
🎬 看 L6 视频 → 然后学本章代码

一句话

回归分析告诉你一个因子对收益是否有统计显著的影响——以及这个影响的大小和方向，附带 p-value 告诉你这个结论是否值得相信。

学习目标

学完本章你能：

用 OLS 估计单因子和多因子回归模型，理解 β、R²、p-value 的含义
用 t 检验和 F 检验判断因子是否显著
检测多重共线性（VIF）并正确解读回归结果
用 CAPM 和 Fama-French 风格因子模型计算 Alpha 和 Beta

核心内容

1. OLS 回归基础——y = Xβ + ε

最小二乘法（OLS）是量化金融里最常用的统计工具——它是 CAPM Beta、因子模型暴露、Alpha 计算的基础。

python

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
import statsmodels.api as sm
from scipy import stats

# 1a. 手动计算 Beta
# 公式：β = Cov(rᵢ, rₘ) / Var(rₘ)

# 下载数据
spy = yf.download('SPY', start='2024-01-01', end='2024-12-31')['Adj Close'].pct_change().dropna()
aapl = yf.download('AAPL', start='2024-01-01', end='2024-12-31')['Adj Close'].pct_change().dropna()

# 对齐索引
returns = pd.concat({'SPY': spy, 'AAPL': aapl}, axis=1).dropna()

# 手动 Beta
cov = np.cov(returns['AAPL'], returns['SPY'])[0, 1]
var_market = np.var(returns['SPY'])
beta_manual = cov / var_market
print(f"手动计算 Beta = {beta_manual:.4f}")

# 1b. 用 statsmodels OLS —— 自动给出 p-value, R²
X = sm.add_constant(returns['SPY'])     # 加截距项
model = sm.OLS(returns['AAPL'], X).fit()
print(model.summary())

输出解读：

coef 列：β（SPY 的系数） 和 α（const 截距）
P>|t| 列：p-value，小于 0.05 说明系数在 5% 水平显著 ≠ 0
R-squared：模型解释了多少收益方差

2. 假设检验——"这个因子真的有用吗？"

t 检验：单个系数是否显著

python

# t 统计量的手动计算
beta = model.params['SPY']
beta_se = model.bse['SPY']    # 标准误
t_stat = beta / beta_se
p_value = 2 * (1 - stats.t.cdf(abs(t_stat), df=model.df_resid))

print(f"Beta t-stat = {t_stat:.3f}, p-value = {p_value:.4f}")
print(f"statsmodels 报告: t = {model.tvalues['SPY']:.3f}, p = {model.pvalues['SPY']:.4f}")
print(f"结论: Beta {'显著 ≠ 0' if p_value < 0.05 else '不显著于 0'} (5% 水平)")

p-value 的量化含义：

p < 0.01 → 非常显著（99% 置信度该因子有用）
p < 0.05 → 显著（标准阈值）
p < 0.10 → 边缘显著（可参考但谨慎）
p ≥ 0.10 → 不显著（无法排除该系数为 0）

F 检验：整个模型是否显著

python

# F 检验：所有斜率系数是否同时为 0
f_stat = model.fvalue
f_pvalue = model.f_pvalue
print(f"F-stat = {f_stat:.3f}, p-value = {f_pvalue:.6f}")
print(f"结论: 模型整体{'显著' if f_pvalue < 0.05 else '不显著'}")

3. 多元回归与多重共线性

现实中一只股票受多个因子驱动。但多个自变量之间可能高度相关——这就是多重共线性。

python

# 下载多个因子：MKT(SPY), SMB, HML (用相近 ETF 近似)
# SPY = 市场, IWM = 小盘股(SMB proxy), VTV = 价值股(HML proxy)

factors = yf.download(['SPY', 'IWM', 'VTV'], start='2024-01-01', end='2024-12-31')['Adj Close']
factor_returns = factors.pct_change().dropna()
factor_returns.columns = ['MKT', 'SMB', 'HML']

# 回归 AAPL 对三个因子
X_multi = sm.add_constant(factor_returns)
model_multi = sm.OLS(returns['AAPL'], X_multi).fit()
print(model_multi.summary())

VIF（方差膨胀因子）——共线性的探测器

python

from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor

# 计算 VIF
X_array = sm.add_constant(factor_returns).values
vif_data = pd.DataFrame()
vif_data['variable'] = ['const', 'MKT', 'SMB', 'HML']
vif_data['VIF'] = [variance_inflation_factor(X_array, i) for i in range(X_array.shape[1])]
print(vif_data)

# VIF 判断标准
# VIF = 1    → 完全无共线性
# VIF < 5    → 可接受
# VIF 5–10   → 中等共线性，值得注意
# VIF > 10   → 严重共线性，需处理

处理多重共线性的方法：

剔除高度相关的因子之一
用 PCA 将相关因子合成为独立主成分
用正则化回归（Ridge/Lasso）

4. 回归在量化中的应用

CAPM 回归——Alpha 就是截距

CAPM 说： $R_i - R_f = \alpha + \beta(R_m - R_f) + \varepsilon$

其中 $\alpha$ 就是超额收益——如果显著 > 0，说明股票跑赢了市场风险调整后的预期。

python

# CAPM 回归
rf = 0.05 / 252  # 假设无风险利率 5% 年化 → 日化

# 计算超额收益
aapl_excess = returns['AAPL'] - rf
spy_excess = returns['SPY'] - rf

X_capm = sm.add_constant(spy_excess)
capm_model = sm.OLS(aapl_excess, X_capm).fit()
print(capm_model.summary())

alpha = capm_model.params['const']
alpha_pval = capm_model.pvalues['const']
beta = capm_model.params['SPY']
annual_alpha = alpha * 252  # 年化 Alpha

print(f"\nCAPM 结果:")
print(f"  Alpha (日) = {alpha:.6f}")
print(f"  Alpha (年化) = {annual_alpha:.4%}")
print(f"  Alpha p-value = {alpha_pval:.4f}")
print(f"  Beta = {beta:.4f}")
print(f"  Alpha 显著{'!' if alpha_pval < 0.05 else '（不显著）'}")

因子模型——Fama-French 风格

python

# AAPL 的三因子回归
# Rᵢ - R_f = α + β₁(Rₘ - R_f) + β₂(Rₛₘₐₗₗ - R_big) + β₃(R_ᵥₐₗᵤₑ - R_₉ᵣₒᵤᵽ) + ε

# 用 factor_returns (SPY≈MKT, IWM≈SMB, VTV≈HML) 做三因子
X_ff = sm.add_constant(factor_returns)
ff_model = sm.OLS(returns['AAPL'] - rf, X_ff).fit()
print(ff_model.summary())

# 关键解读
alpha_ff = ff_model.params['const']
print(f"\n三因子模型 Alpha (年化) = {alpha_ff * 252:.4%}")
print(f"因子暴露: β_MKT = {ff_model.params['MKT']:.3f}, "
      f"β_SMB = {ff_model.params['SMB']:.3f}, "
      f"β_HML = {ff_model.params['HML']:.3f}")

量化意义：

Alpha（截距）：不能被市场、规模、价值因子解释的超额收益——真正的"选股能力"
Beta（因子暴露）：股票对每个因子的敏感度
如果 Alpha 显著 > 0，说明选股策略有效；如果不显著，收益完全来自因子暴露

回归诊断速查表

指标	范围	含义
R²	0–1	因子解释的收益方差比例
p-value（系数）	< 0.05	该因子有统计显著的边际影响
F 检验 p-value	< 0.05	模型整体显著
VIF	> 5–10	存在多重共线性
Durbin-Watson	≈ 2	残差无自相关（合理）

深度阅读

Wiki → ANOVA 与方差分析
Wiki → 因子模型

练习

选择题

OLS 回归中，t 统计量 = β̂ / SE(β̂) 用于检验：
- A. 所有系数是否同时为 0
- B. 单个系数是否等于 0
- C. 模型是否拟合良好
- D. 数据是否正态分布
R² = 0.65 意味着：
- A. 65% 的预测值在真实值的 65% 范围内
- B. 因子解释了 65% 的收益方差
- C. 有 65% 的概率因子是有效的
- D. 模型有 65% 的显著性
VIF > 10 表明：
- A. 模型拟合很好
- B. 存在严重的多重共线性
- C. 残差异方差
- D. 数据量不足
Fama-French 三因子模型中，Alpha 显著为正意味着：
- A. 股票有正的 Beta
- B. 股票有正的超额收益，不能用市场/规模/价值因子解释
- C. 股票属于大市值公司
- D. 股票波动率低

编程题

题目： 下载 TSLA 和 SPY 2024 年数据，做 CAPM 回归。TSLA 的 Alpha 是否统计显著？（α ≠ 0 在 5% 水平？）

python

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
import statsmodels.api as sm

# 你的代码

填空题

CAPM 回归方程是 $R_i - R_f = \\_\\_\\_\\_ + \\_\\_\\_\\_ (R_m - R_f) + \\varepsilon$ ，其中截距项称为 \\\\，代表不能被市场风险解释的超额收益。VIF 大于 \\\\ 通常认为是严重共线性的信号。

3.5 回归分析与假设检验

一句话

学习目标

核心内容

1. OLS 回归基础——y = Xβ + ε

2. 假设检验——"这个因子真的有用吗？"

t 检验：单个系数是否显著

F 检验：整个模型是否显著

3. 多元回归与多重共线性

VIF（方差膨胀因子）——共线性的探测器

4. 回归在量化中的应用

CAPM 回归——Alpha 就是截距

因子模型——Fama-French 风格

回归诊断速查表

深度阅读

练习

选择题

编程题

填空题

掌握检查

📝 练习

3.5 回归分析与假设检验 ​

一句话 ​

学习目标 ​

核心内容 ​

1. OLS 回归基础——y = Xβ + ε ​

2. 假设检验——"这个因子真的有用吗？" ​

t 检验：单个系数是否显著 ​

F 检验：整个模型是否显著 ​

3. 多元回归与多重共线性 ​

VIF（方差膨胀因子）——共线性的探测器 ​

4. 回归在量化中的应用 ​

CAPM 回归——Alpha 就是截距 ​

因子模型——Fama-French 风格 ​

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选择题 ​

编程题 ​

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掌握检查 ​

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1. OLS 回归基础——y = Xβ + ε

2. 假设检验——"这个因子真的有用吗？"

t 检验：单个系数是否显著

F 检验：整个模型是否显著

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VIF（方差膨胀因子）——共线性的探测器

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CAPM 回归——Alpha 就是截距

因子模型——Fama-French 风格

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