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3.8 波动率建模 ​

MIT 18.S096 L9: Volatility Modeling

🎬 看 L9 视频 → 然后学本章代码

一句话 ​

波动率不是常数——大的波动之后常常跟着大的波动（波动率聚集），而 ARCH/GARCH 模型正是捕捉这种"波动的记忆性"的工具，是量化风险管理（VaR、Risk Parity、Volatility Targeting）的计量基石。

学习目标 ​

学完本章你能：

  • 理解波动率聚集（Volatility Clustering）现象，并用平方收益率的 ACF 验证它
  • 理解 ARCH 模型如何刻画条件异方差性
  • 用 GARCH(1,1) 模型拟合收益率序列，提取条件波动率
  • 解释 α+β 接近 1 的经济含义（高持续性）
  • 将波动率模型应用于风险平配、波动率目标化和期权定价

核心内容 ​

1. 波动率聚集（Volatility Clustering） ​

现象： 金融资产的大幅波动（无论是涨还是跌）往往聚集在一起——平静期之后还是平静期，风暴之后接着风暴。

实证验证：

python
import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf

# ── 先安装 arch 包 ──
# pip install arch

# 下载 SPY 日数据
spy = yf.download('SPY', start='2015-01-01', end='2024-12-31')['Adj Close']
returns = spy.pct_change().dropna()  # 日收益率

# 平方收益率——波动率的代理变量
squared_returns = returns ** 2

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(14, 10))

# 1. 收益率序列（看到波动率聚集）
axes[0].plot(returns.index, returns.values, color='steelblue', linewidth=0.5)
axes[0].set_title('SPY 日收益率——平静期与风暴期交替出现')
axes[0].axhline(y=0, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[0].set_ylabel('Returns')

# 2. 平方收益率（波动率代理）
axes[1].plot(squared_returns.index, squared_returns.values,
             color='coral', linewidth=0.5, alpha=0.7)
axes[1].set_title('SPY 平方收益率——大幅波动聚集出现')
axes[1].set_ylabel('Squared Returns')

# 3. 平方收益率的 ACF——波动率的自相关性
plot_acf(squared_returns.dropna(), lags=50, ax=axes[2])
axes[2].set_title('ACF of Squared Returns——波动率有显著的自相关性')

plt.tight_layout()
plt.show()

关键观察：

  • 收益率本身看起来近似白噪声（无自相关）
  • 但平方收益率的 ACF 在多个滞后期仍显著——说明波动率（方差）有记忆
  • 这就是条件异方差性（Conditional Heteroskedasticity）：方差不是常数，而是时变的

2. ARCH 模型 ​

直觉 ​

ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型由 Engle（1982，诺贝尔奖）提出。核心思想：

今天的方差取决于昨天的冲击（残差平方）。

ARCH(1) 数学表达 ​

rt=μ+εt,εt=σtzt,zt∼N(0,1)r_t = \mu + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t = \sigma_t z_t, \quad z_t \sim N(0,1)

σt2=ω+αεt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2

其中：

  • σt2\sigma_t^2 是条件方差（今天的波动率）
  • ω>0\omega > 0 是基线方差
  • α≥0\alpha \geq 0 控制新冲击对波动率的影响强度
  • εt−12\varepsilon_{t-1}^2 是昨天的残差平方
python
from arch import arch_model

# 模拟一个 ARCH(1) 过程
np.random.seed(42)
n = 1000
omega, alpha = 0.01, 0.3
sigma2 = np.zeros(n)
eps = np.zeros(n)
z = np.random.normal(0, 1, n)

sigma2[0] = omega / (1 - alpha)  # 无条件方差
eps[0] = np.sqrt(sigma2[0]) * z[0]

for t in range(1, n):
    sigma2[t] = omega + alpha * eps[t-1]**2
    eps[t] = np.sqrt(sigma2[t]) * z[t]

plt.figure(figsize=(14, 6))
plt.plot(eps, color='darkgreen', linewidth=0.5)
plt.title(f'模拟 ARCH(1): ω={omega}, α={alpha}——冲击有记忆')
plt.ylabel('Return')
plt.show()

拟合真实数据——ARCH(1) ​

python
# 拟合 SPY 的 ARCH(1) 模型
model_arch = arch_model(returns * 100, vol='ARCH', p=1)
result_arch = model_arch.fit(disp='off')
print(result_arch.summary())

注意： 我们给收益率乘以 100（百分数形式），这样参数值更易读。

3. GARCH(1,1)——泛化的 ARCH ​

为什么需要 GARCH？ ​

ARCH(1) 只用一期的冲击来预测方差。但如果波动率的记忆很长（ACF 缓慢衰减），就需要很多阶的 ARCH 项。GARCH（Bollerslev, 1986）用过去的方差本身作为一个额外的预测变量——更简洁、更强大。

GARCH(1,1) 数学表达 ​

σt2=ω+αεt−12+βσt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2

新增的 βσt−12\beta \sigma_{t-1}^2 项让模型记住"昨天的波动率水平"。

直观理解 ​

参数控制越大意味着
ω\omega长期平均方差基线波动率水平
α\alpha对新冲击的反应新的好消息/坏消息 → 波动率快速跳升
β\beta波动率的持续性冲击的衰减速度慢（记忆长）
α+β\alpha + \beta持久性接近 1 → 波动率近乎单位根过程（IGARCH）
python
# 拟合 GARCH(1,1)
model_garch = arch_model(returns * 100, vol='GARCH', p=1, q=1)
result_garch = model_garch.fit(disp='off')
print(result_garch.summary())

# 提取条件波动率
cond_vol = result_garch.conditional_volatility / 100  # 恢复原始尺度

# 可视化
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(14, 8))

# 收益率叠加条件波动率（±1σ 带）
axes[0].plot(returns.index, returns.values, color='steelblue', linewidth=0.5, alpha=0.6)
axes[0].plot(returns.index, cond_vol, color='red', linewidth=1, label='GARCH 条件波动率')
axes[0].plot(returns.index, -cond_vol, color='red', linewidth=1)
axes[0].fill_between(returns.index, -cond_vol, cond_vol, alpha=0.1, color='red')
axes[0].set_title('SPY 收益率 + GARCH(1,1) 条件波动率带')
axes[0].legend()
axes[0].set_ylabel('Returns')

# 条件波动率单独看
axes[1].plot(returns.index, cond_vol, color='darkred', linewidth=0.8)
axes[1].set_title('GARCH(1,1) 条件波动率——波动率本身有清晰的时变模式')
axes[1].set_ylabel('Conditional Vol (daily)')
axes[1].fill_between(returns.index, 0, cond_vol, alpha=0.2, color='darkred')

plt.tight_layout()
plt.show()

# 检查持久性
alpha = result_garch.params['alpha[1]']
beta = result_garch.params['beta[1]']
print(f"α = {alpha:.4f}, β = {beta:.4f}, α+β = {alpha + beta:.4f}")
print(f"结论: {'高持续性（接近 IGARCH）' if alpha + beta > 0.97 else '中等持久性'}")

典型结果（SPY 日数据）：

α = 0.09, β = 0.90, α+β = 0.99

α 小、β 大 ——> 新冲击对波动率影响有限，但一旦波动率升高，它会很慢地衰减。这就是金融波动率的典型特征。

GARCH(1,1) 的方差预测 ​

未来 k 天的条件方差预测：

E[σt+k2∣Ft]=σˉ2+(α+β)k−1(σt+12−σˉ2)\mathbb{E}[\sigma_{t+k}^2 \mid \mathcal{F}_t] = \bar{\sigma}^2 + (\alpha + \beta)^{k-1}(\sigma_{t+1}^2 - \bar{\sigma}^2)

其中 σˉ2=ω1−α−β\bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta} 是无条件方差。

当 α+β<1\alpha + \beta < 1 时，长期预测收敛到无条件方差。当 α+β=1\alpha + \beta = 1（IGARCH）时，波动率冲击永久存在。

4. 波动率在量化中的应用 ​

4.1 Risk Parity（风险平配） ​

思想： 给定一个资产组合，按每类资产的波动率倒数分配资金，使每类资产对总风险的贡献相等。

python
# 简化示例：SPY（股票）vs TLT（国债）
spy = yf.download('SPY', start='2020-01-01', end='2024-12-31')['Adj Close']
tlt = yf.download('TLT', start='2020-01-01', end='2024-12-31')['Adj Close']

returns = pd.DataFrame({
    'SPY': spy.pct_change().dropna(),
    'TLT': tlt.pct_change().dropna()
})

# 用 GARCH(1,1) 估计各自的波动率
vols = {}
for col in returns.columns:
    res = arch_model(returns[col] * 100, vol='GARCH', p=1, q=1).fit(disp='off')
    vols[col] = res.conditional_volatility.iloc[-1] / 100  # 最新条件波动率

latest_vols = pd.Series(vols)
risk_parity_weights = (1 / latest_vols) / (1 / latest_vols).sum()
print(f"最新条件波动率:\n{latest_vols}\n")
print(f"风险平配权重:\n{risk_parity_weights}\n")
print(f"等权波动率贡献:{'SPY=' + str(risk_parity_weights['SPY'] * latest_vols['SPY']:.2%):<20}{'TLT=' + str(risk_parity_weights['TLT'] * latest_vols['TLT']:.2%)}")

4.2 Volatility Targeting（波动率目标化） ​

思想： 当波动率升高时缩小仓位，波动率降低时扩大仓位——让策略的波动率保持恒定。

仓位调整因子=σtargetσcurrent\text{仓位调整因子} = \frac{\sigma_{\text{target}}}{\sigma_{\text{current}}}

python
# 用 GARCH 估计当前波动率，动态调整仓位
sigma_target = 0.15 / np.sqrt(252)  # 目标年化 15% → 日波动率

# 获取 GARCH 条件波动率序列
res_spy = arch_model(returns['SPY'] * 100, vol='GARCH', p=1, q=1).fit(disp='off')
current_daily_vol = res_spy.conditional_volatility / 100

# 仓位调整因子
position_factor = sigma_target / current_daily_vol
position_factor = position_factor.clip(upper=2.0, lower=0.0)  # 限制最大 2 倍杠杆

plt.figure(figsize=(14, 6))
plt.plot(position_factor.index, position_factor.values, color='purple', linewidth=0.8)
plt.axhline(y=1.0, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5, label='全仓（杠杆=1）')
plt.title(f'Volatility Targeting 仓位因子（目标年化 {0.15:.0%}）')
plt.ylabel('仓位调整因子')
plt.legend()
plt.show()

4.3 期权定价 ​

GARCH 模型可以生成波动率期限结构，作为 Black-Scholes 的输入：

python
# 预测未来 30 天的波动率
forecasts = result_garch.forecast(horizon=30)
# forecasts.variance 是未来 30 天的条件方差预测
# 转换为年化波动率（假设 252 交易日）
predicted_vols = np.sqrt(forecasts.variance.iloc[-1] / 10000) * np.sqrt(252)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(range(1, 31), predicted_vols.values, marker='o', color='darkgreen')
plt.title('GARCH(1,1) 预测的波动率期限结构')
plt.xlabel('未来天数')
plt.ylabel('年化波动率')
plt.axhline(y=np.sqrt(forecasts.variance.iloc[-1].mean() / 10000) * np.sqrt(252),
            color='gray', linestyle='--', label='平均预测值')
plt.legend()
plt.show()

深度阅读 ​

  • Wiki → 时间序列基础
  • Engle, R. (1982). "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation." Econometrica, 50(4), 987-1007. — ARCH 开创论文
  • Bollerslev, T. (1986). "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity." Journal of Econometrics, 31(3), 307-327. — GARCH 开创论文
  • 进阶阅读：RiskMetrics (1996) 的技术文档——用 EWMA 作为 GARCH 的简化替代方案

练习 ​

选择题 ​

  1. 观察 SPY 日收益率的平方值的 ACF 图，如果 ACF 在多个滞后期显著不为零，这说明：

    • A. 收益率本身有自相关性
    • B. 收益率是平稳的
    • C. 收益率的方差有自相关性（波动率聚集）
    • D. 收益率存在季节性

  2. GARCH(1,1) 模型 σt2=ω+αεt−12+βσt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 中，如果 α+β=0.99\alpha + \beta = 0.99，这表示：

    • A. 波动率几乎没有记忆
    • B. 新冲击对波动率的影响很快消失
    • C. 波动率有很强的持久性，冲击衰减很慢
    • D. 模型参数不显著

  3. 在 Volatility Targeting 策略中，如果 GARCH 模型估计的当前日波动率是 0.02，目标年化波动率是 16%，那么仓位调整因子（假设 252 交易日/年）大约是：

    • A. 0.5
    • B. 1.0
    • C. 1.6
    • D. 2.0

  4. Risk Parity 的核心思路是：

    • A. 让每类资产的权重相等
    • B. 让每类资产的波动率相等
    • C. 让每类资产对总风险的贡献相等
    • D. 让组合的夏普比率最大化

编程题 ​

题目： 下载 SPY 从 2018-01-01 到 2024-12-31 的日数据，拟合 GARCH(1,1) 模型，回答以下问题：

  1. 条件波动率的最高值出现在哪一天？当时的波动率是多少？
  2. 在 COVID 暴跌期间（2020 年 2 月-3 月），条件波动率从低点上升到峰值花了多少个交易日？
  3. α 和 β 分别是多少？α+β 是否接近 1？
python
import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
import matplotlib.pyplot as plt
from arch import arch_model

# ── 你的代码 ──

填空题 ​

波动率 \\\\ 现象指大幅波动之后倾向于跟随大幅波动，这可以用 \\\\ 收益率 \\\\ 图的滞后相关性来验证。ARCH 模型假设今天的 \\\\ 取决于昨天的 \\\\。GARCH(1,1) 相比 ARCH(1) 多了一个 \\\\ 项。如果 GARCH(1,1) 的 α+β 接近 1，说明波动率的 \\\\ 很高。在 Risk Parity 中，资金分配到每个资产的权重与资产的 \\\\ 成反比。

掌握检查 ​

  • [ ] 我能解释什么是波动率聚集，并用平方收益率的 ACF 验证它
  • [ ] 我能写出 ARCH(1) 和 GARCH(1,1) 的数学表达式
  • [ ] 我能用 arch 包拟合 GARCH(1,1) 并提取条件波动率
  • [ ] 我能解释 α 和 β 的经济含义
  • [ ] 我能解释 α+β 接近 1 意味着什么
  • [ ] 我能将 GARCH 应用于 Risk Parity 和 Volatility Targeting
  • [ ] 我能用 GARCH 预测波动率的期限结构

📝 练习

💬 论述题

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